[論文レビュー] $M$-fractional derivative with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、パrameter $M$ を有するミタグレフ関数を組み込んだことで、カトゥガンポラの代替分数階微分を一般化する $M$-分数階微分 $\mathscr{D}_{M}^\alpha,\beta$ を導入する。この微分は線形性、積の法則、合成関数の法則といった古典的微分法の性質を満たし、$\alpha = 1$ かつ $M = 1$ のときには通常の微分に回復する。主な貢献は、ロルの定理、平均値の定理、部分積分法をこの分数階フレームワークに拡張したことである。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

研究の動機と目的

• カトゥガンポラの代替分数階微分を一般化するために、ミタグレフ関数を含む新しい作用素を導入すること。
• 整数階微分法の基本的性質（線形性、積の法則、合成関数の法則など）を保つ分数階微分を確立すること。
• ロルの定理および平均値の定理といった古典的定理を、新しい微分を用いて分数階設定に拡張すること。
• $\alpha = 1$ かつ $M = 1$ のとき、微分が通常の微分に還元されることを示し、標準的微分法と整合性を保つこと。
• 対応する分数階積分を導出し、微分積分学の基本定理および部分積分法の一般化を証明すること。

提案手法

• パrameter $M$ を持つミタグレフ関数を用いて、$M$-分数階微分 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ を定義する。ここで $M$ は関数のパラメータを表す。
• 線形性、積の法則、商の法則、合成関数の法則の類似物を証明することで、微分の性質を確立する。
• 定数の微分がゼロになることを示し、カプト微分と一致する。
• ミタグレフ関数が指数関数の一般化であることに基づき、ロルの定理や平均値の定理といった古典的定理を拡張する。
• 対応する分数階積分を導出し、その逆性を証明することで、微分積分学の基本定理を一般化する。
• 新しい微分および積分フレームワークに基づき、一般化された部分積分公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプトおよびカトゥガンポラ微分を一般化し、かつ古典的微分法の性質を保つ新しい分数階微分を定義できるか？
• RQ2 提案された $M$-分数階微分は、古典的積の法則、商の法則、合成関数の法則を満たすか？
• RQ3 この新しい微分を用いて、ロルの定理および平均値の定理を分数階に拡張できるか？
• RQ4 $\alpha = 1$ かつ $M = 1$ のとき、$M$-分数階微分は通常の微分に還元されるか？
• RQ5 この新しい分数階微分積分学フレームワーク内において、微分積分学の基本定理および部分積分法を一般化できるか？

主な発見

• $M$-分数階微分 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ は線形性を満たし、スカラー倍と加法が保たれる。
• 微分は積の法則、商の法則、合成関数の法則を満たし、古典的微分法と類似する。
• 定数の微分はゼロであり、カプト微分および古典的期待と整合する。
• $\alpha = 1$ かつ $M = 1$ のとき、$M$-分数階微分は正確に1階微分に還元される。
• 新しい微分に基づく一般化されたロルの定理および平均値の定理が成り立つ。これにより、古典的結果が分数階に拡張された。
• 対応する分数階積分が導出され、その逆性により微分積分学の基本定理が一般化される。また、一般化された部分積分公式が証明された。