[論文レビュー] ${ m SO}(n)$ covariant local tensor valuations on polytopes

Daniel Hug, Rolf Schneider|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、連続性の仮定を課さずに、凸多面体上のSO(n)-共変な局所的テンソル値測度を分類し、O(n)共変性の下での先行分類結果を拡張する。次元2および3では、対称性が低下したため追加の測度が生じ、それらは面の法線および支持集合上のテンソル値測度によって完全に特徴付けられる。

ABSTRACT

The Minkowski tensors are valuations on the space of convex bodies in ${\mathbb R}^n$ with values in a space of symmetric tensors, having additional covariance and continuity properties. They are extensions of the intrinsic volumes, and as these, they are the subject of classification theorems, and they admit localizations in the form of measure-valued valuations. For these local tensor valuations, restricted to convex polytopes, a classification theorem has been proved recently, under the assumption of isometry covariance, but without any continuity assumption. This characterization result is extended here, replacing the covariance under orthogonal transformations by invariance under proper rotations only. This yields additional local tensor valuations on polytopes in dimensions two and three, but not in higher dimensions. They are completely classified in this paper.

研究の動機と目的

• O(n)共変性からSO(n)共変性への、凸多面体上の局所的テンソル値測度の分類を拡張すること。
• 連続性を仮定せずに、多面体上のSO(n)-共変な局所的テンソル値測度が存在するかを特定すること。
• 次元2および3で、対称性が低下することによって生じる新たな局所的テンソル値測度を特定し、それらを特徴付けること。
• 局所的測度の性質および弱連続性が、SO(n)共変性と局所化構造から導かれることが示されること。
• 多面体上のSO(n)-共変な局所的テンソル値測度を完全に分類し、低次元と高次元における挙動の違いを明確にすること。

提案手法

• 多面体の法線サイクル上の測度値写像としての局所的テンソル値測度の枠組みを用いる。
• 適切な回転に関して不変なテンソル値測度を分類するために、SO(n)の表現論を適用する。
• 異なる次元の面に分ける法線サイクルの分解を用い、球面断片上のテンソル積分を伴う。
• 対称テンソル、射影、表面測度に関する積分を用いて、k-次元面における測度の明示的公式を導出する。
• 先行研究（Hug & Schneider, 2015）の補題を精緻化し、低次元におけるSO(n)不変性を扱う。
• 回転不変性を用いて、特にn=2およびn=3において、面の向きに依存しない定数に係数を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続性の仮定なしに、凸多面体上のSO(n)-共変な局所的テンソル値測度はどのようなものがあるか？
• RQ2 O(n)共変性をSO(n)共変性に置き換えると、局所的テンソル値測度の空間にどのような影響を与えるか？
• RQ3 なぜSO(n)共変性の下では次元2および3にのみ追加の測度が現れ、高次元では現れないのか？
• RQ4 新たに同定されたSO(n)-共変な測度のうち、すべての凸体へ弱連続拡張を許容するものはどれか？
• RQ5 測度の性質および連続性が、SO(n)共変性と局所化構造から、事前に仮定せずに導かれるか？

主な発見

• 次元n ≥ 4では、SO(n)-共変な局所的テンソル値測度はO(n)-共変性の下でのものと一致し、新たな測度は生じない。
• 次元n = 2およびn = 3では、SO(n)がO(n)と異なり単連結でないため、追加のSO(n)-共変な局所的テンソル値測度が存在する。
• 2次元および3次元における新しい測度は、計量テンソルQの累乗、法線ベクトルのテンソル積、および球面積分を含む面法線上の積分によって明示的に構成される。
• n = 3では、Q^a Q_L^{b-a}およびv_L × uを含む項が分類に含まれており、SO(3)-不変テンソル場のより豊かな構造を反映している。
• n = 2では、Q^aおよびQ^a v_L × uを含む項が分類に含まれており、SO(2)の回転構造および2点法線支持を捉え込んでいる。
• 全分類は、係数が多面体に依存しない項Q^m φ_k^{0,s,j}(P, A×B)およびQ^m ~φ^{0,s,j}(P, A×B)の線形結合として表現される。