[論文レビュー] M-theory and Deformation Quantization

Djordje Minić|ArXiv.org|Sep 4, 1999

Advanced Topics in Algebra被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、多項式因数分解に基づくザリスキ変形量子化が、非可換ヤン・ミルズ理論で用いられる標準的なモーヤル量子化に代わる、行列理論の共変的定式化の正しい数学的枠組みを提供することを提案する。この形式から導かれる量子三重ナムブ括弧は、M理論の時空不確定性原理を自然に表現しており、$[X^\mu,X^\nu,X^\lambda]^2_{\bullet_{1/N}} \sim l_p^6$ が主要な結果である。

ABSTRACT

We discuss deformation quantization of the covariant, light-cone and conformal gauge-fixed p-brane actions (p>1) which are closely related to the structure of the classical and quantum Nambu brackets. It is known that deformation quantization of the Nambu bracket is not of the usual Moyal type. Yet the Nambu bracket can be quantized using the Zariski deformation quantization (discovered by Dito, Flato, Sternheimer and Takhtajan) which is based on factorization of polynomials in several real variables. We discuss a particular application of the Zariski deformed quantization in M-theory by considering the problem of a covariant formulation of Matrix theory. We propose that the problem of a covariant formulation of Matrix theory can be solved using the formalism of Zariski deformed quantization of the triple Nambu bracket.

研究の動機と目的

• 現在の光円錐座標や共形ゲージ固定に依存する行列理論の共変的定式化の欠如に対処すること。
• 標準的なモーヤル量子化とp-brane作用素におけるナムブ括弧の構造との不整合を解消すること。
• M理論における三重ナムブ括弧を量子化するための新しい数学的枠組み—ザリスキ変形量子化—を提案すること。
• 得られた量子ナムブ構造とM理論における時空不確定性原理を結びつけること。
• ホログラフィーとUV/IR双対性と整合する、共変的かつ非摂動的な行列理論の定式化を提供すること。

提案手法

• 特に光円錐ゲージおよび共形ゲージにおけるp-brane作用素から導かれる古典的ナムブ括弧構造を用いる。
• 複数の実変数における多項式の因数分解に基づくザリスキ変形量子化—ナムブ括弧の量子化方針として採用する。
• ザリスキ形式を用いて非可換座標を表現するための変形積代数 $A_{1/N}$ を構築する。
• ザリスキ積による古典的ナムブ括弧の変形として、量子三重ナムブ括弧を導出する。
• 変形パラメータ $1/N$ をD0-braneの数の逆数と特定し、代数と物理的行列理論を結びつける。
• 量子ナムブ括弧とM理論における時空不確定性関係 $[X^\mu,X^\nu,X^\lambda]^2 \sim l_p^6$ の間の対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-brane作用素におけるナムブ括弧構造は、標準的なモーヤル変形量子化によって一貫して量子化可能か？
• RQ2 ザリスキ変形量子化は、M理論における三重ナムブ括弧のモーヤル量子化の代替として有効か？
• RQ3 基本的なナムブ代数的構造を尊重する完全な共変的行列理論の定式化はどのように構築可能か？
• RQ4 M理論における時空不確定性原理の数学的・物理的役割は何か？ そして、代数的にどのように表現できるか？
• RQ5 行列理論に、M理論の不確定性関係 $\delta T \delta X_T \delta X_L \sim l_p^3$ を自然に実現する代数的構造は存在するか？

主な発見

• ザリスキ変形量子化は、標準的なモーヤル変形では一貫して量子化できない古典的ナムブ括弧を成功裏に量子化した。
• ザリスキ形式における量子三重ナムブ括弧は、M理論の時空不確定性原理を $[X^\mu,X^\nu,X^\lambda]^2_{\bullet_{1/N}} \sim l_p^6$ の形で再現し、$l_p$ はプランク長さである。
• 提案された共変的行列理論の定式化は、ザリスキ変形積を用いて非可換座標を定義し、ローレンツ不変性を保持する。
• ザリスキ積における変形パラメータ $1/N$ はD0-braneの数の逆数に対応し、代数と物理的自由度を結びつける。
• この構成は、ナムブ括弧の代数的構造を通じて、M理論のホログラフィー的性質およびUV/IR双対性を自然に組み込む。
• この方法は、平坦時空における時空不確定性関係の整合的数学的枠組みを提供し、ヤオネア＝リの提案を共変的設定に拡張する。