[論文レビュー] M-Theory and Topological Strings--I

Rajesh Gopakumar, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Sep 25, 1998

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ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau三様のType IIA compactificationにおけるトポロジカル弦振幅の直接的なM理論的解釈を確立し、$ R^2F^{2g-2} $ 項を含む全 genus のF-term補正が、包み込まれたM2-braneとKaluza-Kleinモードを含むM理論における1ループシュヴィンガー計算から生じることを示している。主な結果は、従来トポロジカル弦理論によって計算されてきたワールドシートインスタントン和が、M理論におけるBPS状態からの摂動的および非摂動的寄与として物理的に実現されることであり、特に孤立した $ S^2 $-包み込みM2-braneから生じる小さなインスタントンを含むことである。

ABSTRACT

The $R^2 F^{2g-2}$ terms of Type IIA strings on Calabi-Yau 3-folds, which are given by the corresponding topological string amplitudes (a worldsheet instanton sum for all genera), are shown to have a simple M-theory interpretation. In particular, a Schwinger one-loop computation in M-theory with wrapped M2 branes and Kaluza-Klein modes going around the loop reproduces the all genus string contributions from constant maps and worldsheet instanton corrections. In the simplest case of an isolated M2 brane with the topology of the sphere, we obtain the contributions of small worldsheet instantons (sphere ``bubblings'') which extends the results known or conjectured for low genera. Surprisingly, the 't Hooft expansion of large $N$ Chern-Simons theory on $S^3$ can also be used in a novel way to compute these gravitational terms at least in special cases.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau三様に compactified されたType IIA弦理論におけるトポロジカル弦振幅の非摂動的M理論的解釈を提供すること。
• 従来トポロジカル弦理論によって計算されてきた $ R^2F^{2g-2} $ 項が、包み込まれたM2-braneとKaluza-Kleinモードを含むM理論における1ループ寄与として物理的に実現されることを示すこと。
• ワールドシートインスタントン補正、特に $ S^2 $-包み込みM2-braneから生じる小さなインスタントンを含め、M理論1ループ図から自然に生じることを示すこと。
• $ S^3 $ 上の large-$ N $ Chern-Simons理論と閉じたトポロジカル弦振幅との関係を、開弦振幅の $ h \to 0 $ 外挿によって探ること。

提案手法

• 包み込まれたM2-braneとKaluza-Kleinモードがループに伝播するM理論におけるシュヴィンガー1ループ計算を実行すること。
• Calabi-Yau三様に $ S^1 $ を掛けたM理論の compactification を用いて、Type IIA弦理論の強い結合定数領域にアクセスすること。
• M2-braneおよびKaluza-Kleinモードの1ループ行列式を用いて分配関数を計算し、定数写像とワールドシートインスタントンから来る genus $ g $ の寄与を再現すること。
• M理論における $ D0 $-ブレーンと $ D2 $-ブレーンの束縛状態寄与を用いて、トポロジカル弦振幅の非摂動的補正を捉えること。
• large-$ N $ Chern-Simons理論を用いて開弦トポロジカル弦振幅を計算し、$ h=0 $ に外挿することで閉弦振幅を回復すること。
• 't Hooft極限におけるChern-Simons自由エネルギーを展開し、genus依存寄与を抽出し、それらをトポロジカル弦振幅に関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau三様に compactified されたType IIA弦理論における全 genus トポロジカル弦振幅は、どのようにM理論に解釈されるか？
• RQ2 特に小さなインスタントンに関して、トポロジカル弦理論におけるワールドシートインスタントン補正の物理的起源は何か？
• RQ3 $ R^2F^{2g-2} $ 項が、包み込まれたM2-braneとKaluza-Kleinモードを含む1ループM理論計算から導かれるか？
• RQ4 large-$ N $ Chern-Simons理論が $ S^3 $ 上で、$ h \to 0 $ における閉じたトポロジカル弦振幅とどのように関係するか？
• RQ5 孤立した $ S^2 $-包み込みM2-braneなどのBPS状態が、トポロジカル弦振幅の非摂動的補正を生成する役割を果たすか？

主な発見

• 包み込まれたM2-braneとKaluza-Kleinモードを含むM理論における1ループシュヴィンガー計算は、摂動的および非摂動的寄与を含む、全 genus のトポロジカル弦振幅を再現する。
• 定数写像（ワールドシートが一点に写される）からの主な genus $ g $ 寄与は、M理論におけるKaluza-Kleinモードの積分除去によって生じる。
• 孤立した $ S^2 $-表面に包み込まれたM2-braneからの次に顕著な寄与は、既知の低 genus 結果と整合する、小さなワールドシートインスタントン補正を再現する。
• トポロジカル弦振幅の非摂動的補正は、M理論における $ D2 $-および $ D0 $-ブレーンの束縛状態の和として捉えられ、インスタントン効果の物理的実現を提供する。
• $ T^*S^3 $ 上の開弦トポロジカル弦振幅を large-$ N $ Chern-Simons理論で計算し、$ h \to 0 $ に外挿することで、主な閉弦振幅が回復され、開弦と閉弦のセクターの間の新しい双対性を示唆する。
• トポロジカル弦の全分配関数は、M理論におけるBPS状態の和として再定式化され、M理論スペクトルに基づいて全振幅の物理的解釈を提供する。