[論文レビュー] Méthode des orbites et formules du caractère pour les représentations tempérées d'un groupe algébrique réel réductif non connexe

Jean-Yves Ducloux|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化された正則共伴軌道とキリロフ型のキャラクター公式を用いて、非連結な実再帰的リー群の臨界ユニタリ表現を分類するための軌道法を拡張する。『良いパラメータ』（一般化された線形汎関数と射影表現）を用いた臨界双対のパrametrizationを確立し、ユニタリ同値性がこれらのパラメータのG-共轭にちょうど一致することを証明する。これは、アダムズ、バーバーシュ、ヴォーガンによる連結群の結果を一般化する。

ABSTRACT

Let G be a non-connected reductive real Lie group. In this paper, I parametrize the set of irreductible tempered characters of G. Afterwards, I describe these characters by means of some ``Kirillov's formulas'', using the descent method near each elliptic element in G. If G is linear and connected, the parameters that I use are ``final basic'' parameters in the sense of Knapp and Zuckerman.

研究の動機と目的

• 非連結な実再帰的リー群への軌道法の拡張。
• 一般化された正則共伴軌道を用いたそのような群の臨界双対のパrametrization。
• 臨界表現のユニタリ同値性と『良いパラメータ』のG-共轭の間の正確な対応を確立すること。
• 楕円的元の近傍での降下法を用いて、この設定へのキリロフのキャラクター公式の一般化。
• 極限離散系列を誘導過程に組み込むことにより、臨界表現に関する先行研究を統合・拡張すること。

提案手法

• 一般化された正則線形汎関数 $\tilde{\rho}$ と射影表現 $\tau$ のペア $({\tilde{\rho}}, \tau)$ を用いて臨界表現をパラメータ化する。
• 楕円的元の近傍での降下法を適用し、共伴軌道上のフーリエ変換を用いてキャラクター公式を構成する。
• 一般化された正則共伴軌道 $\widetilde{\mathfrak{g}}^*_{\text{reg},G}$ を用いて臨界双対をパラメータ化する。
• Zuckermanに準じた誘導表現理論と翻訳ファンクターを用いて、パラボリック部分群間の表現を関連付ける。
• 連結な場合のKnappとZuckermanの『最終的基礎パラメータ』の枠組みを非連結群へ拡張する。
• 正則性および整数性条件を満たすパラメータを用いて、レヴィ部分群 $M'$ から $G$ への制限と通過を用いてキャラクター公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道法は、非連結な実再帰的リー群の臨界表現を分類するためにどのように拡張可能か？
• RQ2 共伴軌道と射影表現を用いた臨界双対の正確なパラメータ化は何か？
• RQ3 この非連結な設定において、キリロフ型のキャラクター公式はどのように一般化されるか？
• RQ4 このパラメータ化において、2つの表現がユニタリ同値であるための条件は何か？
• RQ5 楕円的元の近傍での降下法は、キャラクター計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 非連結な実再帰的リー群 $G$ の臨界双対は、$G$-軌道による一般化された正則共伴パラメータ $({\tilde{\lambda}}, \tau)$ でパラメータ化される。ここで $\tilde{\lambda}$ は一般化された正則線形汎関数、$\tau$ は射影表現である。
• 臨界表現のユニタリ同値性は、それらに対応する『良いパラメータ』$({\tilde{\lambda}}, \tau)$ の $G$-共轭にちょうど一致する。これは正確な分類を提供する。
• 各臨界表現のキャラクターは、一般化されたキリロフ公式を用いて計算され、共伴軌道上のフーリエ変換と楕円的元の近傍での降下法が用いられる。
• 群 $G$ が連結である場合、このパラメータ化は [ABV92, Th. 11.14] の結果を回復し、同じユニタリ同値条件が成り立つ。
• 誘導過程に極限離散系列を組み込むことにより、KnappとZuckermanの『最終的基礎パラメータ』が非連結群へ一般化される。
• キャラクター公式は、正則性条件を満たすパラメータを用いて、レヴィ部分群 $M'$ から $G$ への制限によって導出される。翻訳ファンクターと関連する条件が用いられる。