[論文レビュー] Mabuchi metrics and properness of the modified DING functional

Yan Li, Bin Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、自己同型群の再帰的部分群を含むモディファイド・ディング汎関数の適切性（properness）と、ファノ多様体上でのマブッチ計量の存在を結びつけることで、マブッチ計量の存在に対する適切性基準を確立する。もしモディファイド・ディング汎関数が、極値ベクトル場の1パラメータ部分群を含む再帰的部分群に関して適切であるとともに、臨界値 $ c_X > 0 $ であれば、マブッチ計量が存在する。逆に、マブッチ計量が存在するならば、モディファイド・ディング汎関数は自己同型群全体に関して適切であることが示され、ダーヴァス＝ルビンスタインの適切性原理がこの設定に拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we study Mabuchi metrics on Fano manifolds. We prove that Mabuchi metrics exist if the modified Ding functional is proper modulo a reductive subgroup of its automorphism group. On the other hand, the inverse that Mabuchi metrics implies the properness is obtained by using Darvas-Rubinstein's properness principle. As an application, we establish a criterion for the existence of Mabuchi metrics on Fano group compactifications.

研究の動機と目的

• ファノ多様体上でのマブッチ計量の存在に対する適切性基準を確立し、ケーラー＝アインシュタイン計量や極値計量問題で用いられる解析的アプローチを拡張すること。
• モディファイド・ディング汎関数の適切性とマブッチ計量の存在との関係、特に群作用下での関係を明確にすること。
• 自己同型群の再帰的部分群に関するモディファイド・ディング汎関数の適切性を用いたマブッチ計量の存在の十分条件を提示すること。
• 逆方向を証明する：マブッチ計量が存在するならば、モディファイド・ディング汎関数は自己同型群全体に関して適切であることを、ダーヴァス＝ルビンスタインの適切性原理を用いて示すこと。

提案手法

• 本稿は、$ \mathcal{H}_X(\omega_0) $ 上での経路積分を用いて定義されるモディファイド・ディング汎関数 $ \mathcal{D}_X(\phi) $ を導入し、正規化されたポテンシャル $ \theta_X(\omega_\phi) $ とリッチポテンシャル $ h_0 $ を組み込む。
• また、$ c_X = \min_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $ および $ C_X = \max_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $ を定義し、$ c_X > 0 $ がマブッチ計量の存在に必要であることを示す。
• 本稿はダーヴァス＝ルビンスタインの適切性原理をモディファイド・ディング汎関数に適用し、再帰的部分群 $ H^c \supseteq K_X $ に関して適切であるならば、マブッチ計量が存在することを証明する。
• 連続的経路 $ \phi_t $ が、$ (1 - \theta_X(\omega_{\phi_t}))^t $ を含む複素マソン＝アームペール型方程式を満たすように設定し、$ C^0 $ および $ C^2 $ の事前推定を確立することで、解集合の開性と閉性を示す。
• $ C^0 $-推定は、マソン＝アームペール方程式を統合し、$ J_t(\phi_t) $ を $ c_X $ と $ C_X $ を用いて評価することで得られ、$ \phi_t $ の一様 $ L^\infty $ 範囲が保証される。
• 高階の推定は標準的な非線形楕円型理論に従い、連続的メソッドによるマブッチ計量方程式の解の存在証明が完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファノ多様体上でのマブッチ計量が存在するためのモディファイド・ディング汎関数の条件は何か？
• RQ2 再帰的部分群に関してモディファイド・ディング汎関数が適切であることは、マブッチ計量の存在に十分か？
• RQ3 マブッチ計量が存在するならば、モディファイド・ディング汎関数は自己同型群に関して適切であるか？
• RQ4 臨界値 $ c_X = \min_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $ はマブッチ計量の存在にどのように制約を加えるか？
• RQ5 連続的メソッドは、モディファイド・ディング汎関数に適用可能で、マブッチ計量の存在を証明できるか？

主な発見

• モディファイド・ディング汎関数 $ \mathcal{D}_X(\phi) $ が、$ K_X $ を含む再帰的部分群 $ H^c \subseteq \mathrm{Aut}_0(M) $ に関して適切であることは、$ c_X > 0 $ かつ汎関数が適切性条件を満たすときに限り成り立つ。
• モディファイド・ディング汎関数が再帰的部分群 $ H^c $ に関して適切で、かつ $ K_X $ を含むならば、ファノ多様体はマブッチ計量を有する。
• マブッチ計量が存在するならば、ダーヴァス＝ルビンスタインの適切性原理に従い、モディファイド・ディング汎関数は自己同型群全体 $ \mathrm{Aut}_0(M) $ に関して適切である。
• $ C^0 $-推定は一様的であり、$ c_X $ と $ C_X $ のみに依存し、ある一様定数 $ C $ を用いて $ |\phi_t| \leq C $ と表される。
• $ C^2 $-推定はラプラシアン比較の議論により確立され、一様定数 $ C, c $ を用いて $ n + \Delta_{\omega_0}\phi \leq C e^{c(\phi - \inf \phi)} $ が成り立つ。これにより、解集合が閉じていることが保証される。
• 連続的メソッドは正常に完了する：解集合は開かつ閉であるため、$ t = 1 $ において解が存在し、それはマブッチ計量に対応する。