[論文レビュー] Machine learning and serving of discrete field theories -- when artificial intelligence meets the discrete universe

Hong Qin|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、物理法則を事前に知らなくても、時空格子上の観測データから直接離散場理論を学習する機械学習フレームワークを提案する。この手法は、ニューラルネットワークを用いて離散ラグランジアン密度 $ L_d $ を学習し、ニュートンの法則を事前に知らなくても、楕円軌道、放物軌道、双曲軌道といった新たな物理的挙動を予測可能であり、優れた一般化性能と構造を保つ精度を示している。

ABSTRACT

A method for machine learning and serving of discrete field theories in physics is developed. The learning algorithm trains a discrete field theory from a set of observational data on a spacetime lattice, and the serving algorithm uses the learned discrete field theory to predict new observations of the field for new boundary and initial conditions. The approach to learn discrete field theories overcomes the difficulties associated with learning continuous theories by artificial intelligence. The serving algorithm of discrete field theories belongs to the family of structure-preserving geometric algorithms, which have been proven to be superior to the conventional algorithms based on discretization of differential equations. The effectiveness of the method and algorithms developed is demonstrated using the examples of nonlinear oscillations and the Kepler problem. In particular, the learning algorithm learns a discrete field theory from a set of data of planetary orbits similar to what Kepler inherited from Tycho Brahe in 1601, and the serving algorithm correctly predicts other planetary orbits, including parabolic and hyperbolic escaping orbits, of the solar system without learning or knowing Newton's laws of motion and universal gravitation. The proposed algorithms are also applicable when effects of special relativity and general relativity are important. The illustrated advantages of discrete field theories relative to continuous theories in terms of machine learning compatibility are consistent with Bostrom's simulation hypothesis.

研究の動機と目的

• 物理法則を事前に知らなくても、観測データから離散場理論を発見する機械学習手法を開発すること。
• 微分方程式を用いた連続場理論を学ぶ課題を回避するため、離散場理論に移行することで、その課題を克服すること。
• 長期間にわたる精度を保つために、幾何的構造（例：シンプレクティック性、エネルギー保存）を保つサービングアルゴリズムを構築すること。
• 観測データのみを用いて、脱出軌道など複雑な物理的挙動を予測できるかを実証すること。
• 離散場理論がシミュレーション仮説とどの程度整合するかを検討し、自然界が離散的かつ計算可能な法則に従っている可能性を示唆すること。

提案手法

• 場理論を、$ n+1 $ 個の隣接する時空点における場の値に依存する離散ラグランジアン密度 $ L_d $ の形で定式化する。
• 観測データ上でニューラルネットワークを用いて離散ラグランジアンを学習し、2階微分の計算を回避する。
• 学習した理論をサーブする際に、構造を保つ幾何的アルゴリズムを採用し、長期的な整合性と保存則の遵守を確保する。
• 離散作用に変分原理を適用し、シンプレクティック構造および運動量構造を保存する発展則を導出する。
• 水星から木星までの惑星軌道のデータに学習アルゴリズムを適用し、重力的力学の離散場理論を同定する。
• 未知の境界条件（放物軌道や双曲軌道）に対して予測を検証し、ニュートン力学の知識なしに予測を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 機械学習アルゴリズムは、物理法則を事前に知らなくても、観測データのみから離散場理論を発見できるか？
• RQ2 データ効率性および一般化性能の観点から、離散場理論を学ぶことと連続微分方程式を学ぶことの違いは何か？
• RQ3 学習した離散場理論は、訓練データに含まれない非自明な物理的挙動（例：脱出軌道）を予測できるか？
• RQ4 構造を保つ幾何的アルゴリズムは、学習した場理論の予測精度をどの程度向上させるか？
• RQ5 離散場理論の学習に成功することは、宇宙が離散的かつ計算可能なシステムとして動作しているというシミュレーション仮説を支持するか？

主な発見

• 学習アルゴリズムは、ティコ・ブラーエが観測したケプラーのデータに類似した惑星軌道の観測データから、離散場理論を成功裏に再構築した。
• サービングアルゴリズムは、訓練データに存在しなかった放物軌道や双曲軌道を正確に予測したが、ニュートンの法則を事前に知らなかった。
• 構造を保つ幾何的アルゴリズムをサービング段階で採用したことで、長期的な安定性とエネルギー保存が達成された。
• 離散ラグランジアンアプローチにより、2階微分の計算を回避でき、トレーニングの簡素化とロバストネスの向上が達成された。
• 結果から、連続的場理論よりも離散的場理論のほうが機械学習に適している可能性が示唆され、ボストロムのシミュレーション仮説とも整合する。
• 相対論的系へも拡張可能であることが示された。特殊相対性理論および一般相対性理論を含む問題への適用可能性が確認された。