[論文レビュー] Machine Learning and Variational Algorithms for Lattice Field Theory

Gurtej Kanwar|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、格子場理論における臨界遅れの低下と信号対ノイズ比の問題を克服するための2つの新規手法を導入する。1つは、機械学習を用いて効率的な提案を構築する流れに基づく生成的MCMCサンプラーであり、もう1つは経路積分の積分路を変形することで相関関数の測定における分散を最小化する「observifold」手法である。両手法とも、スカラーφ⁴理論およびU(1)/SU(N)ゲージ理論において、サンプリング効率の向上と分散低減に顕著な効果を示した。

ABSTRACT

In lattice quantum field theory studies, parameters defining the lattice theory must be tuned toward criticality to access continuum physics. Commonly used Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods suffer from critical slowing down in this limit, restricting the precision of continuum extrapolations. Further difficulties arise when measuring correlation functions of operators widely separated in spacetime: for most correlation functions, an exponentially severe signal-to-noise problem is encountered as the operators are taken to be widely separated. This dissertation details two new techniques to address these issues. First, we define a novel MCMC algorithm based on generative flow-based models. Such models utilize machine learning methods to describe efficient approximate samplers for distributions of interest. Independently drawn flow-based samples are then used as proposals in an asymptotically exact Metropolis-Hastings Markov chain. We address incorporating symmetries of interest, including translational and gauge symmetries. We secondly introduce an approach to "deform" Monte Carlo estimators based on contour deformations applied to the domain of the path integral. The deformed estimators associated with an observable give equivalent unbiased measurements of that observable, but generically have different variances. We define families of deformed manifolds for lattice gauge theories and introduce methods to efficiently optimize the choice of manifold (the "observifold"), minimizing the deformed observable variance. Finally, we demonstrate that flow-based MCMC can mitigate critical slowing down and observifolds can exponentially reduce variance in proof-of-principle applications to scalar $ϕ^4$ theory and $\mathrm{U}(1)$ and $\mathrm{SU}(N)$ lattice gauge theories.

研究の動機と目的

• 臨界点付近における格子場理論シミュレーションで、標準的なMCMC手法が非効率になる問題を解決すること。
• 広く離れた演算子の相関関数における信号対ノイズ比の指数的悪化を克服すること。
• メトロポリス・ハスティングス法における提案効率を向上させる、機械学習に基づくサンプラーの開発。
• 観測量の分散を最小化する経路積分積分路の変形に関する変分的手法の導入。
• φ⁴理論およびU(1)/SU(N)格子ゲージ理論への応用を通じて、これらの手法の有効性を実証すること。

提案手法

• MCMCのための提案分布を学習する流れに基づく生成モデルを提案し、効率的でほぼ独立なサンプルを可能にする。
• 流れに基づくサンプラーをメトロポリス・ハスティングス法に統合し、漸近的正確性を保ちつつランダムウォーク行動を低減する。
• 流れに基づくモデルのアーキテクチャに、並進対称性やゲージ不変性などの対称性を組み込む。
• 「observifold」——観測量の測定において等価だが分散が低い結果をもたらす、経路積分領域内の変形された多様体——の概念を導入する。
• 勾配ベースの最適化手法を用いて、分散を最小化するように変形パラメータを最適化する。
• 手法の性能評価のため、スカラーφ⁴理論およびU(1)/SU(N)格子ゲージ理論にこれらの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流れに基づく生成的モデルを用いて、格子場理論におけるMCMCのための効率的で対称性を保つ提案分布を構築できるか？
• RQ2 経路積分領域の積分路の変形が、相関関数の測定における分散低減に顕著な効果をもたらすか？
• RQ3 これらの手法は、相転移付近での臨界遅れの低下をどの程度緩和できるか？
• RQ4 ゲージ対称性およびグローバル対称性を持つ実際の格子場理論において、これらの手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 経路積分積分路の変形を変分的最適化することで、観測量の分散を体系的に低減できるか？

主な発見

• 流れに基づくMCMC手法は、格子場理論シミュレーションにおける臨界遅れの低下を著しく低減し、臨界点付近でのサンプリング効率を向上させた。
• observifold手法は、広く離れた演算子の相関関数において指数的分散低減を達成し、信号対ノイズ問題を克服した。
• 両手法とも、スカラーφ⁴理論およびU(1)およびSU(N)格子ゲージ理論において有効であり、広範な適用可能性を示した。
• 流れに基づくサンプラーは、学習された提案分布を活用しながらも、詳細つり合いと漸近的正確性を維持した。
• observifoldの変形の最適化により、推定子の分散が顕著に低減され、数値実験で定量的な改善が確認された。
• 流れモデルへの対称性の統合により、物理的整合性が保たれるとともに、サンプリング性能の向上が達成された。