[論文レビュー] Machine learning for many-body physics: efficient solution of dynamical mean-field theory

Louis-François Arsenault, O. Anatole von Lilienfeld+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Machine Learning in Materials Science参考文献 2被引用数 29

ひとこと要約

本論文は、入力の混合関数から出力の自己エネルギーおよびグリーン関数への関数的写像を用いて、ダイナミカルメーンフィールド理論（DMFT）方程式を効率的に解くための機械学習フレームワークを導入する。この手法は、金属的およびモット絶縁体相、準粒子重み、粒子密度を高精度に予測でき、強相関電子系において機械学習が計算的に効率的な代替手法として機能しうることを示している。

ABSTRACT

Machine learning methods for solving the equations of dynamical mean-field theory are developed. The method is demonstrated on the three dimensional Hubbard model. The key technical issues are defining a mapping of an input function to an output function, and distinguishing metallic from insulating solutions. Both metallic and Mott insulator solutions can be predicted. The validity of the machine learning scheme is assessed by comparing predictions of full correlation functions, of quasi-particle weight and particle density to values directly computed. The results indicate that with modest further development, machine learning approach may be an attractive computational efficient option for real materials predictions for strongly correlated systems.

研究の動機と目的

• ダイナミカルメーンフィールド理論（DMFT）の関数方程式を効率的に解く機械学習手法を開発すること。この手法は、入力の混合関数から出力の自己エネルギーおよびグリーン関数への写像を実現する。
• 強相関電子系における準粒子重みや粒子密度といった重要な物理量を正確に予測すること。
• スカラー出力の機械学習モデルの限界を克服するため、関数から関数への写像を用いて金属的およびモット絶縁体解を区別すること。
• 異なる相互作用強さおよびバンド構造の下で、3次元ハッブルモデルの正確な数値解と比較してMLフレームワークの妥当性を検証すること。
• 裸の混合関数の異なる表現、特にレジェンドルおよびEDに類似したパrameterizationに対して、この手法の頑健性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、裸の混合関数のレジェンドル展開係数、相互作用強さU、化学ポテンシャルμを含む記述子ベクトルを用いて、カーネルリッジ回帰（KRR）により関数的写像を学習する。
• 入力の混合関数は、虚時間におけるレジェンドル多項式展開を用いて表現され、チェビシェフ・レジェンドル変換および高速フーリエ変換を介して、効率的な数値的取り扱いが可能になる。
• 自己エネルギーおよびグリーン関数は、レジェンドル多項式係数を用いて虚時間で再構成され、球ベッセル関数変換を介してマツバラ周波数へアナリティック継続が行われる。
• モデルは、t′/t比、U、μを変化させた3次元ハッブルモデルのDMFT方程式の正確な解のデータベースを用いて学習される。
• 記述子には、正確な対角化フィットから得られる{εₗ⁰, Vₗ⁰}という代替表現も含め、{Δₗ⁰}と同等の予測性能を示す。
• 予測精度は、不良なサンプリングに対する頑健性を保証するため、1,000回の独立した訓練/テスト分割に対して中央絶対誤差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 機械学習を用いて、入力の混合関数から出力の自己エネルギーおよびグリーン関数への関数方程式を効果的に解くことができるか？
• RQ2 3次元ハッブルモデルの金属的およびモット絶縁体相において、機械学習は準粒子重みおよび粒子密度をどの程度正確に予測できるか？
• RQ3 混合関数の表現の選択（レジェンドル係数対EDに類似したパrameter）が、機械学習モデルの予測性能に影響を与えるか？
• RQ4 再訓練なしに、異なる相互作用強さおよびバンド構造に一般化できるか？
• RQ5 多様な訓練セット構成に対して評価された際、機械学習予測の頑健性はいかがなものか？

主な発見

• 機械学習モデルは、金属的およびモット絶縁体相において準粒子重みZを高精度に予測でき、訓練データ1,000例の場合、中央相対誤差が5%未満である。
• 粒子密度の予測についても高い精度を達成しており、準粒子重みと同等の相対誤差を示し、異なる物理的状態においても頑健であることが確認された。
• 入力記述子としてレジェンドル多項式係数{Δₗ⁰}を用いることで、EDに類似したパrameterization {εₗ⁰, Vₗ⁰}と同等の予測性能が得られ、表現の柔軟性が裏付けられた。
• 本手法は、金属的および絶縁体解を効果的に区別でき、適切なUおよびμ値でのモット転移を正しく同定した。
• 1,000回の独立した訓練/テスト分割に対して中央相対誤差を計算することで、多様なデータ構成においても予測の安定性と信頼性が確認された。
• 今後の発展により、強相関電子系の実材料における電子的性質を予測するための、計算的に効率的な代替手法として、MLベースのDMFTソルバーが実現可能である可能性が示唆された。