[論文レビュー] Machine-Learning Number Fields

Yang‐Hui He, Kyu‐Hwan Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Computational Physics and Python Applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、機械学習—特にランダムフォレストおよびロジスティック回帰分類器—を用いて、ζ係数データを用いて代数的数体の主要な不変量を高い正確性で予測できることを示している。実二次数体のディスクリミナントが100万未満のζ係数で訓練されたランダムフォレスト分類器は、類数1と類数2を区別する際、96％の正確性を達成し、ディスクリミナントが300万までの数体へも一般化して91％の正確性を示しており、数論におけるヒューリスティックな発見の可能性を示唆している。

ABSTRACT

We show that standard machine-learning algorithms may be trained to predict certain invariants of algebraic number fields to high accuracy. A random-forest classifier that is trained on finitely many Dedekind zeta coefficients is able to distinguish between real quadratic fields with class number 1 and 2, to 0.96 precision. Furthermore, the classifier is able to extrapolate to fields with discriminant outside the range of the training data. When trained on the coefficients of defining polynomials for Galois extensions of degrees 2, 6, and 8, a logistic regression classifier can distinguish between Galois groups and predict the ranks of unit groups with precision >0.97.

研究の動機と目的

• 代数的数体の基本的不変量（類数、ガロア群、単位群のランクなど）を機械学習で予測できるかどうかを調査すること。
• 機械学習モデルの入力として用いるデータ表現（定義多項式、ζ係数、分裂素数）の違いが性能に与える影響を評価すること。
• 訓練済みモデルが訓練データのディスクリミナント範囲を超えて外挿できるかどうか、および数論における未解決問題にどのように寄与できるかを検討すること。
• 特に、類数が1である実二次数体が無限に存在するかどうか未解決であるが、機械学習が類数に関するパターンを発見できるかを検討すること。

提案手法

• 実二次数体のデデキンドゼータ関数の1000係数を用いてランダムフォレスト分類器を訓練し、類数（1対2）を予測する。
• 定義多項式の係数を用いてロジスティック回帰を適用し、2次、6次、8次拡大におけるガロア群と単位群ランクを予測する。
• 完全に分裂する素数を符号化したバイナリーベクトルを用いて分類器を訓練したが、拡大次数の検出を除き性能は低かった。
• テストデータセット（訓練範囲内および外のディスクリミナントを持つ数体）に対して、正確性と信頼度スコアを用いてモデルの性能を評価した。
• 実二次数体、二重四次体、六次ガロア拡大のデータセットをL-functions and Modular Forms Database（LMFDB）から取得した。
• ζ係数、多項式係数、分裂素数インジケーターの3つの異なるデータモダリティにおけるモデル性能を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ζ係数データを用いて、機械学習は実二次数体の類数を正確に予測できるか？
• RQ2 訓練済みモデルは訓練範囲外のディスクリミナントを持つ数体へ外挿できるか？また、一般化性能はどの程度か？
• RQ3 ζ係数、定義多項式、分裂素数といった異なるデータ表現は、ガロア群や単位群ランクの予測においてどの程度有効か？
• RQ4 機械学習は、類数が3で割り切れるパターンを検出できるか？また、ランダムな推測より優れているか？
• RQ5 モデルの意思決定基準は、類数1の実二次数体が無限に存在するかどうかという未解決問題に何らかの洞察を提供できるか？

主な発見

• ディスクリミナントが100万未満の実二次数体のζ係数で訓練されたランダムフォレスト分類器は、類数1と類数2を区別する際、96％の正確性を達成した。
• ディスクリミナントが100万～300万の数体に対してテストしたところ、同じ分類器は91％の正確性を維持した。これは強力な外挿能力を示している。
• 8次ガロア拡大では、ζ係数データを用いたロジスティック回帰分類器が、ガロア群の区別および単位群ランクの予測において97％を超える正確性を達成した。
• 二重四次体（bi-quadratic quartic fields）では、ロジスティック回帰モデルが類数1対2の分類で81.9％の正確性を達成したが、データセットサイズの制限により性能が制限された。
• 六次S₃拡大では、7クラスの類数分類においてどの分類器も38％を超える正確性を達成できず、1対2の分類でもピークで60.5％の正確性にとどまった。
• 類数が3で割り切れるかどうかの予測では、正確性がほぼランダム（約51％）に近かったため、このような数論的パターンを学習するのは困難であることが示された。