[論文レビュー] Mack's estimator motivated by large exposure asymptotics in a compound Poisson setting

Nils Engler, Filip Lindskog|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2023

Probability and Risk Models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、暴露量が非常に大きい極限において、Mackのチェーン・ランナーライナー予測子とその予測誤差の条件付き平均二乗誤差の推定器が、化合物ポアソンモデルから自然に導かれることが示されている。これは、モデルがMackの元来の分布フリー仮定と整合しないにもかかわらずである。主な貢献は、大規模な暴露における漸近的性質が、制限的な分布フリー枠組みに依存せずに、古典的保険損失モデルにおけるMackの広く採用されている推定器の使用を正当化することにある。

ABSTRACT

The distribution-free chain ladder of Mack justified the use of the chain ladder predictor and enabled Mack to derive an estimator of conditional mean squared error of prediction for the chain ladder predictor. Classical insurance loss models, i.e. of compound Poisson type, are not consistent with Mack's distribution-free chain ladder. However, for a sequence of compound Poisson loss models indexed by exposure (e.g. number of contracts), we show that the chain ladder predictor and Mack's estimator of conditional mean squared error of prediction can be derived by considering large exposure asymptotics. Hence, quantifying chain ladder prediction uncertainty can be done with Mack's estimator without relying on the validity of the model assumptions of the distribution-free chain ladder.

研究の動機と目的

• Mackの分布フリーなチェーン・ランナーライナー推定器を、古典的な化合物ポアソン損失モデルと調和させること。これは、標準的な仮定下では両者に不整合があるためである。
• 暴露（例：契約数）が無限大に近づく際の漸近的性質において、チェーン・ランナーライナー予測子とその平均二乗誤差推定器がどのように現れるかを示すこと。
• より現実的でパラメトリックなモデルから導出されることで、Mackの推定器の頑健性に対する理論的基盤を提供すること。
• 長年の議論であった、Mackの推定器の統計的妥当性について、明確な漸近的枠組みに根ざして解消すること。

提案手法

• 著者らは、損失発生のセルごとに独立した化合物ポアソン過程を仮定し、同一の請求額分布と有限の分散を持つモデルを分析する。
• 暴露α（契約数を表す）でインdexされたモデルの系列を想定し、α → ∞ における漸近的挙動を検討する。
• 弱収束とスラツキーの定理を用いて、チェーン・ランナーライナー予測子およびその予測誤差推定器の極限分布を導出する。
• 請求発生の計数過程の構造を扱うために、マルティンゲール中心極限定理と再生過程近似を用いる。
• 重要な要素には、条件付き期待値の使用、スケーリングされた乖離の漸近的正規性、予測誤差のプロセス誤差とパrameter推定誤差の成分への分解が含まれる。
• 大規模な暴露下での、経験モーメントの収束と、主要な確率的成分の漸近的独立性を活用して導出を行う。

Figure 1: Blue histograms: standardized Mack’s estimator ( 16 ) of conditional mean squared error. Orange histograms: true standardized conditional mean squared error ( 17 ). The three plots shown correspond to accident years $i=3,5,8$ from left to right.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mackのチェーン・ランナーライナー予測子とその平均二乗誤差推定器は、大規模な暴露における漸近的性質のもとで、古典的化合物ポアソン損失モデルから導出可能か？
• RQ2 暴露が増加する化合物ポアソンモデルの漸近的挙動は、Mackの分布フリー枠組みと同一の推定器を生じるか？
• RQ3 Mackの条件付き平均二乗誤差推定器は、彼の元来のモデルの分布フリー仮定を満たさないパラメトリックモデルにおいても正当化されるか？
• RQ4 化合物ポアソン設定下で、暴露が大きくなる際のチェーン・ランナーライナー予測子およびその予測誤差の極限分布は何か？
• RQ5 Mackの推定器の頑健性は、モデル特異的仮定ではなく、漸近的理論によって説明可能か？

主な発見

• Mackのチェーン・ランナーライナー予測子と、条件付き平均二乗誤差の推定器は、Mackの分布フリー仮定と整合しないにもかかわらず、化合物ポアソンモデルの暴露が大きい極限において自然に出現する。
• 暴露α → ∞ において、スケーリングされた予測誤差は、平均がゼロで、請求額と開発パターンのパrameterに依存する分散を持つ正規確率変数に分布収束する。
• Mackの平均二乗誤差式におけるパrameter推定誤差成分の推定器は、化合物ポアソンモデルのもとで漸近的に有効であることが示され、古典的損失予約におけるその使用が正当化される。
• 予測誤差の極限分布には、パrameter推定器の漸近的正規性に起因するカイ二乗成分が含まれており、Mackの推定器の構造が確認される。
• 請求回数過程がポアソン過程でなくても、再生過程近似が成り立つ限り、かつ請求額の二階モーメントが有限であれば、結果は成り立つ。
• 大規模な暴露における漸近的性質による理論的正当化は、分布フリー仮定の有効性とは独立して、Mackの推定器の実務的使用を支持する。