[論文レビュー] Maclaurin series expansions for powers of inverse (hyperbolic) sine, for powers of inverse (hyperbolic) tangent, and for incomplete gamma functions, with applications to second kind Bell polynomials and generalized logsine function

Bai‐Ni Guo, Dongkyu Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、第一種スターリング数と二項係数を用いて、逆（双曲）正弦および正切関数の累乗および不完全ガンマ関数との合成関数について、明示的なマクローリン級数展開を導出する。これらの展開を応用することで、第二種ベル多項式の特殊値に対する閉形式の表現が得られ、一般化ログサイン関数の級数表現が得られ、既知の組合せ的恒等式が統一・簡略化される。

ABSTRACT

In the paper, the authors establish nice Maclaurin series expansions and series identities for powers of the inverse sine function, for powers of the inverse hyperbolic sine function, for composites of incomplete gamma functions with the inverse hyperbolic sine function, for powers of the inverse tangent function, and for powers of the inverse hyperbolic tangent function, in terms of the first kind Stirling numbers, binomial coefficients, and multiple sums, apply the nice Maclaurin series expansion for powers of the inverse sine function to derive an explicit formula for special values of the second kind Bell polynomials and to derive a series representation of the generalized logsine function, and deduce several combinatorial identities involving the first kind Stirling numbers. Some of these results simplify and unify some known ones.

研究の動機と目的

• 逆（双曲）正弦および正切関数の累乗に関する新しいマクローリン級数展開を確立すること。
• 不完全ガンマ関数と逆双曲正弦関数の合成関数の級数表現を導出すること。
• これらの展開を応用して、第二種ベル多項式の特殊値を明示的に計算すること。
• 導出された展開を用いて、一般化ログサイン関数の級数表現を提供すること。
• 第一種スターリング数を含む組合せ的恒等式を導出し、統一すること。

提案手法

• 第一種スターリング数および二項係数を用いて、(arcsin x)^m および (arcsinh x)^m のマクローリン級数を導出する。
• (arcsin x)^m の級数展開を応用し、第二種ベル多項式の特殊値を閉形式で表現する。
• 同一の展開フレームワークを用いて、一般化ログサイン関数の級数表現を導出する。
• スターリング数および二項係数を含む多重和を構築し、不完全ガンマ関数との合成関数を表現する。
• 係数を比較し、スターリング数の既知の母関数を活用することで恒等式を確立する。
• 導出された級数を用いて、従来の組合せ的恒等式の簡略化および統一を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆正弦および逆双曲正弦関数の累乗に関する明示的なマクローリン級数展開は何か？
• RQ2 (arcsin x)^m の級数展開を用いて、第二種ベル多項式の特殊値に対する閉形式表現をどのように導出できるか？
• RQ3 導出された級数を用いて、一般化ログサイン関数の級数表現を構築できるか？
• RQ4 これらの展開から、第一種スターリング数を含む組合せ的恒等式はどのように導かれるか？
• RQ5 これらの結果は、文献に既存の恒等式をどのように簡略化または統一するか？

主な発見

• 本稿では、(arcsin x)^m のマクローリン級数を用いて、第二種ベル多項式の特殊値に関する新しい明示的公式を提供する。
• 逆正弦関数の累乗級数を応用することで、一般化ログサイン関数の級数表現が導出される。
• 第一種スターリング数を含む組合せ的恒等式が導出され、既存の結果の簡略化または統一が示される。
• 多重和および二項係数を用いて、(arcsinh x)^m および不完全ガンマ関数との関連する合成関数の級数展開が確立される。
• 逆三角関数および双曲関数の級数展開は、スターリング数および二項係数を用いて表現され、体系的な計算が可能になる。
• 結果として、特殊関数および組合せ論の文脈において、従来分散していた恒等式を統一するフレームワークが示される。