[論文レビュー] Macroscopic entanglement in Quantum Computation

Akihisa Ukena, Akira Shimizu|ArXiv.org|May 9, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子計算におけるマクロなもつれを $p$-インデックスを用いて調査する。$p$-インデックスは、マクロ的に異なる状態の重ね合わせを定量化する。GroverのアルゴリズムとShorのアルゴリズムが、難しい問題を解く際、$p=2$ の状態——つまりマクロなもつれ——を用いることを示し、このようなもつれが古典的アルゴリズムに対する量子加速に不可欠であるという仮説を支持する。

ABSTRACT

We investigate macroscopic entanglement of quantum states in quantum computers, where we say a quantum state is entangled macroscopically if the state has superposition of macroscopically distinct states. The index $p$ of the macroscopic entanglement is calculated as a function of the step of the computation, for Grover's quantum search algorithm and Shor's factoring algorithm. It is found that whether macroscopically entangled states are used or not depends on the numbers and properties of the solutions to the problem to be solved. When the solutions are such that the problem becomes hard in the sense that classical algorithms take more than polynomial steps to find a solution, macroscopically entangled states are always used in Grover's algorithm and almost always used in Shor's algorithm. Since they are representative algorithms for unstructured and structured problems, respectively, our results support strongly the conjecture that quantum computers utilize macroscopically entangled states when they solve hard problems much faster than any classical algorithms.

研究の動機と目的

• マクロに異なる状態の重ね合わせとして定義されるマクロなもつれ状態（$p=2$）が、古典的アルゴリズムを上回る性能を示す量子アルゴリズムに用いられるかどうかを調査すること。
• 代表的な量子アルゴリズムにおけるマクロなもつれの役割を分析すること：未構造化問題に対するGroverの探索と構造化問題に対するShorの因数分解。
• 計算中にマクロなもつれがどのような条件下で出現するかを特定すること、特に問題の難易度との関連を重視すること。
• 量子加速が $p=2$ 状態の存在と相関することを仮説として検証すること。

提案手法

• 量子アルゴリズム内の量子状態のもつれの $p$-インデックスを計算するために、分散共分散行列（VCM）法を用いる。
• $p$-インデックスを用いて、GroverのアルゴリズムとShorのアルゴリズムにおけるマクロなもつれの進化を追跡する。
• マクロなもつれを、均一または実質的に均一な多体系において $p=2$ で定量化される、マクロ的に異なる状態の重ね合わせとして定義する。
• 計算の各段階における量子状態の解析的および数値的結果を分析する。
• 特に解の構造と問題の難易度に注目して、異なる問題インスタンス間での $p$-インデックスの挙動を比較する。
• 仮説の対偶を用いる：$p \neq 2$ が計算全体で成り立つ場合、古典的多項式時間アルゴリズムが存在するはずである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 難問としての未構造化問題を解く際、Groverの量子探索アルゴリズムにおいてマクロなもつれ（$p=2$ で測定）が出現するか？
• RQ2 Shorの因数分解アルゴリズムにおいて、特にモジュラー指数関数の位数 $r$ に関して、マクロなもつれがどのような条件下で出現するか？
• RQ3 $p=2$ 状態の使用と、古典的手法を上回る性能を示すアルゴリズムにおける量子加速の間に相関があるか？
• RQ4 量子アルゴリズムにおいて $p=2$ 状態が存在しない場合、効率的な古典的代替アルゴリズムが存在する可能性はあるか？
• RQ5 GroverのアルゴリズムとShorのアルゴリズムの両方において、量子計算の各ステップでの $p$-インデックスの変化はいかなるものか？

主な発見

• Groverのアルゴリズムにおいて、問題が難しい場合——つまり古典的アルゴリズムが多項式時間より長くかかる場合——常にマクロにもつれた状態（$p=2$）が使用される。
• Shorのアルゴリズムにおいて、マクロにもつれた状態はほとんど常に使用されるが、位数 $r$ が2の整数乗である場合に限り、$p \neq 2$ となる。
• $p$-インデックスの分析により、マクロなもつれが、古典的手法よりも速く難しい問題を解く量子アルゴリズムにおいて一貫した特徴として現れることが確認された。
• 結果は、難しい問題における量子加速が、$p=2$ のマクロにもつれた状態の使用に起因するという仮説を支持する。
• Shorのアルゴリズムにおいて $r$ が2の累乗であるという例外的ケース——$p \neq 2$ である——は、古典的多項式時間解法が存在する可能性を示唆しており、仮説の対偶と整合的である。
• VCM法により、両アルゴリズムのすべての量子状態における $p$-インデックスの計算が効率的に行えるようになり、もつれの進化を詳細に追跡できるようになった。