[論文レビュー] Macroscopic Lattice Boltzmann Method (MacLAB)

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、衝突ステップを排除し、唯一の基本パラメータとして格子サイズ $\delta x$ を用いることで、標準的な格子ボルツマン法（LBM）の再定式化であるマクロスコピック格子ボルツマン法（MacLAB）を提案する。粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ を用いて粘性を埋め込むことで、無条件安定性、メモリ使用量の削減、およびマクロスコピック境界条件の直接適用を達成し、2次元および3次元のベンチマーク（キャビティ流れやテイラー・グリーン渦流れを含む）において、粘性流および非粘性流の正確なシミュレーションを示している。

ABSTRACT

The birth of the lattice Boltzmann method (LBM) fulfils a dream that simple arithmetic calculations can simulate complex fluid flows without solving complicated partial differential flow equations. Its power and potential of resolving more and more challenging physical problems have been and are being demonstrated in science and engineering covering a wide range of disciplines such as physics, chemistry, biology, material science and image analysis. The method is a highly simplified model for fluid flows using a few limited fictitious particles that move one grid at a constant time interval and collide each other at a grid point on uniform lattices, which are the two routine steps for implementation of the method to simulate fluid flows. As such, a real complex particle dynamics is approximated as a regular particle model using three parameters of lattice size, particle speed and collision operator. A fundamental question is "Are the two steps integral to the method or can the three parameters be reduced to one for a minimal lattice Boltzmann method?". Here, I show that the collision step can be removed and the standard LBM can be reformulated into a simple macroscopic lattice Boltzmann method (MacLAB). This model relies on macroscopic physical variables only and is completely defined by one basic parameter of lattice size dx, bringing the LBM into a precise "Lattice" Boltzmann method. The viscous effect on flows is naturally embedded through the particle speed, making it an ideal automatic simulator for fluid flows. The findings have been demonstrated and confirmed with numerical tests including flows that are independent of and dependent on fluid viscosity, 2D and 3D cavity flows, and an unsteady Taylor-Green vortex flow. This provides an efficient and powerful model for resolving physical problems in various disciplines of science and engineering.

研究の動機と目的

• 格子ボルツマン法における衝突ステップを、正確性や安定性を損なわずに排除できるかを調査すること。
• マクロスコピックな物理変数と格子サイズ $\delta x$ のみを基本パラメータとする最小限のLBM定式化を開発すること。
• 無条件安定性、メモリ使用量の削減、およびマクロスコピック境界条件の直接的実装を達成すること。
• 2次元および3次元の配置における粘性流および非粘性流のベンチマークで、この手法を検証すること。

提案手法

• 標準LBMを再定式化し、衝突ステップを排除し、粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ を用いたストリーミングステップのみを保持する。
• 衝突演算子を必要としないため、粒子分布関数を均衡分布 $f_{\alpha}^{eq}$ のみで定義する。
• 粒子速度 $e$ を用いて流体の粘性を自然に埋め込み、$\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$ を格子ダイナミクスに内蔵する。
• 標準的なD2Q9およびD3Q19格子構造を用いるが、緩和時間 $\tau$ および衝突行列 $\Omega_{\alpha\beta}$ を削除する。
• チャップマン・エンスコッグ解析を用いて、導出されたスキームが2次精度でナビエ＝ストークス方程式を回復することを確認する。
• 密度 $\rho$ や速度 $u_i$ といったマクロスコピック変数を直接境界条件として用い、実装を簡素化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衝突ステップを排除することで、格子サイズ $\delta x$ のみを用いた1パラメータモデルに、格子ボルツマン法を単純化できるか？
• RQ2 格子サイズ $\delta x$ のみに依存する衝突なしLBMが、依然としてナビエ＝ストークス方程式を正確に回復できるか？
• RQ3 このような手法が、標準LBMと比較して無条件安定性とメモリ使用量の削減を達成できるか？
• RQ4 2次元および3次元のベンチマークにおいて、粘性流および非粘性流の問題に対して、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 分布関数の再構築なしに、マクロスコピック境界条件を直接適用できるか？

主な発見

• チャップマン・エンスコッグ解析により、MacLABモデルが2次精度でナビエ＝ストークス方程式を回復することが確認され、理論的妥当性が裏付けられた。
• 無条件安定性を達成しており、単一緩和時間LBMで一般的に見られる数値不安定性の問題が解消された。
• 衝突ステップおよび関連する分布関数の保存に必要なメモリが不要になったため、メモリ使用量が顕著に削減された。
• 密度や速度といったマクロスコピック変数を直接境界条件として用いることができ、実装が簡素化された。
• 数値的テストにより、2次元および3次元のキャビティ流れ、ならびに非定常なテイラー・グリーン渦流れについて、粘性流および非粘性流の両方において正確なシミュレーションが確認された。
• 粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ が流体の粘性を暗黙的に符号化しており、$\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$ は格子構造に自然に起因する結果である。