[論文レビュー] Macroscopic parameters of Fokker-Planck flows

Igor A. Tanski|ArXiv.org|Jun 6, 2006

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、速度分布の平均化によってFokker-Planck系の巨視的流体力学的方程式を導出し、得られた連続体モデルが等温・粘性・圧縮性流体として振る舞うことを示している。分布関数のフーリエ変換を用いて、質量、運動量、エネルギーの保存則を導出し、Fokker-Planck係数（減衰係数αと拡散係数k）と流体の粘性係数および温度を結ぶ状態方程式k/α = kBTを確立している。

ABSTRACT

The aim of this work is to investigate properties of solutions of Fokker - Planck equation in the context of continuum mechanics. We show that average quantities, calculated for these solutions approximately satisfy equations of isothermal motion of viscous ideal gas.

研究の動機と目的

• 速度空間での平均化を用いて、Fokker-Planck方程式から巨視的流体力学的方程式を導出すること。
• 非相互作用粒子系における平均化された量が満たす保存則（質量、運動量、エネルギー）を特定すること。
• Fokker-Planck連続体の状態方程式を確立し、応力と圧力を運動論的パrameterに関連付けること。
• Fokker-Planck係数（α, k）を、粘性係数や温度といった流体の性質に結びつけること、具体的にはk/α = kBTを用いること。
• Fokker-Planck方程式の基本解を解析し、長時間極限における流体力学的一致性を検証すること。

提案手法

• 分布関数n(xi, vi)の速度空間平均を用いて巨視的量（密度ρ、速度ui、応力σij、エネルギーe）を定義する。
• 分布関数のフーリエ変換M(t, xi, qj)を用い、巨視的パラメータをqj = 0におけるMの微分として表現する。
• Fokker-Planck方程式にexp(−ivkqk)を乗じ、速度空間で積分することでMの時間発展方程式を導出する。
• 変換された方程式にqj = 0を代入し、質量、運動量、エネルギーの保存則を導出する。
• Mにガウス型の形を仮定して系を閉じ、理想気体の法則に類似した状態方程式を導出する。
• 長時間極限において、導出された方程式がFokker-Planck方程式の基本解と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fokker-Planck解の平均化された巨視的量は、標準的な連続体力学の保存則を満たすか？
• RQ2 Fokker-Planck系は、状態方程式を有する粘性・圧縮性流体として解釈可能か？
• RQ3 Fokker-Planck係数αとkの物理的解釈は、流体の粘性係数および温度とどのように関係するか？
• RQ4 Fokker-Planck方程式の基本解において、巨視的パラメータ（密度、速度、応力）はどのように時間発展するか？
• RQ5 長時間極限において、導出された流体力学的方程式が運動量保存則を満たすか？

主な発見

• 平均化された密度ρと速度uiは連続の方程式∂ρ/∂t + ∂(ρui)/∂xi = 0を満たす。
• 運動量保存則∂(ρui)/∂t + ∂(ρuiuj)/∂xj − ∂σij/∂xj + αρui = 0が導出され、基本解に対しても検証された。
• エネルギー保存則∂e/∂t + ∂Fi/∂xi − 2αe = −3kρが成り立ち、Fiはエネルギーフラックスを表す。
• 応力テンソルσijは速度分散と関連し、運動論的理論に整合するp = 2/3 Eという状態方程式が回復された。
• 関係式k/α = kBTが確立され、Fokker-Planck係数がボルツマン定数を介して温度に結びつけられた。
• 長時間極限において、密度ρは拡散方程式の解に近づき、歪み率εij = (α/θ)(1−e−αt)²δijを示す粘性・圧縮性流体の挙動を示した。