[論文レビュー] Macroscopic Spontaneous Symmetry Breaking and its Absence for Fermion Grading Symmetry

Hajime Moriya|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意の統計に従う準局所的系における相転移の基準として、巨視的自発対称性破れ（MSSB）を導入する。これは、すべての局所的領域において異なる相が互いに交わらないことを要請する。フェルミオンの位相対称性（フェルミオンに−1を乗じる）に対しては、MSSBが存在しないことを証明する。その根拠として、ギブズ状態が任意の外部領域への制限においても因子状態のままであることを示し、KMS状態において対称性が完全に保存されることを保証する。

ABSTRACT

We introduce a criterion named macroscopic spontaneously symmetry breaking, for short MSSB, for general quasi-local systems with any statistics. It is formulated based on the idea that each pair of distinct phases (appeared in spontaneous symmetry breaking) should be disjoint not only for the total system but also for every outside system of a local region specified by the given quasi-local structure. We show the absence of MSSB for fermion grading transformations that multiply fermion fields by −1. We obtain some structural result about the centers of Gibbs states for lattice systems with fermion or fermion-boson statistics. It shows that a Gibbs state is a factor state if and only so is its restriction to any outside system of a local region. If the factorial decomposition for a KMS state (which also satisfies the Gibbs condition) induces by restriction that for its restricted state to every outside system of a local region, then fermion grading symmetry is perfectly preserved. If fermion grading symmetry would be broken for any KMS state, then we can construct a non-even state from it (by perturbation of a local Hamiltonian) which satisfies the KMS condition but not the local thermal stability condition. 1

研究の動機と目的

• 一般の準局所的系に適用可能な、巨視的自発対称性破れ（MSSB）の厳密な基準を定義すること。
• フェルミオン位相対称性（フェルミオン場に−1を乗じる）が、このような系で自発的に破れるかどうかを調査すること。
• フェルミオンまたはフェルミオン・ボソン統計をもつスピン系におけるギブズ状態の中心の構造を分析すること。
• KMS状態がフェルミオン位相対称性を保存する条件、特に局所的熱的安定性を通じての条件を確立すること。
• 局所的ハミルトニアンの摂動を用いて非偶対称KMS状態を構成することで、対称性破れの可能性が及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• MSSBを、全系だけでなく、局所的領域の任意の外部領域に対しても、相が不交和であることを要件とする条件として形式化すること。
• 局所的領域の外部領域へのギブズ状態の制限を用いて、その因子構造を分析すること。
• KMS条件と局所的熱的安定性を用いて、平衡状態における対称性保存を評価すること。
• ギブズ状態が因子状態であるための必要十分条件として、任意の局所的領域の外部領域への制限が因子状態であることの証明。
• 仮定される対称性破れを伴うKMS状態から、局所的ハミルトニアンの摂動を用いて非偶対称状態を構成し、KMS条件および局所的熱的安定性条件を満たすかを検証すること。
• ギブズ状態の中心の構造を活用して、フェルミオン系における対称性破れの帰結を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準局所的系におけるフェルミオン位相対称性に対して、巨視的自発対称性破れが生じ得るか？
• RQ2 ギブズ状態が局所的領域の外部領域に制限されたとき、それが因子状態のままである条件は何か？
• RQ3 KMS状態の因子分解構造は、その外部領域への制限状態の因子分解構造とどのように関係するか？
• RQ4 フェルミオン位相対称性が自発的に破れた場合、KMS条件にはどのような影響が生じるか？
• RQ5 対称性破れを伴うKMS状態から出発し、KMS条件を満たすが局所的熱的安定性を破る非偶対称状態を構成できるか？

主な発見

• フェルミオン位相対称性は、任意の統計をもつ準局所的系において、巨視的自発対称性破れを起こし得ない。
• ギブズ状態が因子状態であるための必要十分条件は、任意の局所的領域の外部領域への制限が因子状態であることである。
• KMS状態が、すべての外部領域への制限によって因子分解を誘導するならば、フェルミオン位相対称性は完全に保存される。
• フェルミオン位相対称性のMSSBが存在しないのは、対称性破れを伴うKMS状態が、局所的熱的安定性を破る非偶対称状態を生じるためである。
• 与えられた条件下で、ギブズ状態の代数の中心は自明であるため、巨視的秩序パラメータによる対称性の破れは不可能である。
• 観測量代数の中心の構造により、KMS条件を満たすが局所的熱的安定性を破るような方法での対称性破れは、実現不可能であることが保証される。