[論文レビュー] MacWilliams-type equivalence relations

Soohak Choi, Jong Yoon Hyun+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双対関係と重み分布を定義することにより、順序付き集合符号におけるMacWilliams型同値関係を導入し、このような関係がMacWilliams型恒等式を満たすための必要十分条件を確立する。また、自己同型誘導、基数に基づく、および順序同型に基づく同値関係が特定の順序付き集合構造においてMacWilliams型であることを証明し、順序付き集合符号理論における既知の結果を統一する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{P}$ be a poset on $[n]$, $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ the set of order ideals of $\mathcal{P}$ and $E$ an equivalence relation on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$. The concepts of the dual relation $E^*$ of an equivalence relation $E$, the $E$-weight (resp. $E^*$-weight) distribution of a linear poset code (resp. its dual poset code) and a MacWilliams-type equivalence relation are introduced. We give a characterization for a MacWilliams-type equivalence relation in terms of MacWilliams-type identities for a linear poset code. Three kinds of equivalence relations on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ which are of MacWilliams-type are found, i.e., $(i)$ we show that every equivalence relation defined by the automorphism of $\mathcal{P}$ is a MacWilliams-type; $(ii)$ we provide a new characterization for poset structures when the equivalence relation defined by the same cardinality on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ becomes a MacWilliams-type; $(iii)$ we also give necessary and sufficient conditions for poset structures in which the equivalence relation defined by the order-isomorphism on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ is a MacWilliams-type.

研究の動機と目的

• 順序付き集合符号理論における既知のMacWilliams型恒等式を統一するという未解決の問題に取り組む。
• MacWilliams型恒等式を満たす順序付き集合の順序イデアル上の一般化された同値関係の枠組みを定義する。
• 自己同型、基数、または順序同型によって誘導される特定の同値関係が、いつMacWilliams型恒等式を生じるかを同定する。
• 行列表現を通じて、線形順序付き集合符号におけるE-重み分布とE*-重み分布の双対性を確立する。
• 異なる同値関係の下でMacWilliams型恒等式を許容する順序付き集合構造の必要十分条件を提示する。

提案手法

• 順序イデアルの集合 $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上の同値関係 $E$ の双対関係 $E^*$ を導入する。
• 線形順序付き集合符号およびその双対符号の $E$-重み分布と $E^*$-重み分布を定義する。
• Möbius逆転と指標和を用いて明示的に定式化された項を含む行列形式のMacWilliams型恒等式を導出する。
• Möbius逆転を用いて、同値関係の下での符号とその双対符号の重み分布の関係を確立する。
• 順序同型と補数同型順序付き集合を用いて、MacWilliams型挙動のための対称性条件を確立する。
• 自己同型群 $H \leq \text{Aut}(\mathcal{P})$ の群作用を用いて、$E_H$ と $E_H^*$ 間の対称的恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上の同値関係 $E$ がMacWilliams型同値関係であるための条件は何か？
• RQ2 順序付き集合 $\mathcal{P}$ の自己同型によって定義される同値関係がMacWilliams型関係であるのはいつか？
• RQ3 どの順序付き集合構造が、$\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上の基数に基づく同値関係をMacWilliams型に可能にするか？
• RQ4 どの順序付き集合構造が、順序同型に基づく同値関係がMacWilliams型関係であるようにするか？
• RQ5 線形順序付き集合符号の $E$-重み分布とその双対符号の $E^*$-重み分布との明確な関係は何か？

主な発見

• 順序付き集合 $\mathcal{P}$ の自己同型群 $H$ によって誘導されるあらゆる同値関係は、MacWilliams型同値関係である。
• $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上の基数に基づく同値関係は、かつてKimとOh（2012）が分類した条件を満たす場合に限り、MacWilliams型である。
• $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上の順序同型に基づく同値関係は、$\mathcal{P}$ が補数同型順序付き集合である場合に限り、MacWilliams型である。
• 補数同型順序付き集合 $\mathcal{P}$ に対して、符号の $E_S$-重み分布とその双対符号の $E_S^*$-重み分布の間でMacWilliams型恒等式が成り立つ。
• Möbius逆転を用いて、$M(I)$ および $M(J^c)$ の部分集合上の和を含む項を含む行列形式のMacWilliams型恒等式が明示的に構成される。
• 自己同型誘導同値関係に対して、対称的恒等式が導出される：$\frac{|\{\sigma \in H \mid \sigma(J^c) = J^c\}|}{(q-1)^{|M(J^c)|}q^{|(J^c)_M|}} p_{\overline{J^c}, \overline{I}} = \frac{|\{\sigma \in H \mid \sigma(I) = I\}|}{(q-1)^{|M(I)|}q^{|I_M|}} q_{\overline{I}, \overline{J^c}}$。