[論文レビュー] Magic labelings of distance at most 2

Rinovia Simanjuntak, Mona Elviyenti+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、D ⊆ {0,1,2} である任意の距離集合 D を考慮することで、従来の距離魔法ラベリングを一般化した D-距離魔法ラベリングについて検討する。サイクルおよび直径 2 以下のグラフにおけるこのようなラベリングの存在に必要な十分条件を確立し、特定の正則グラフおよび多重部グラフではラベリングの非存在を証明し、直径 3 の無限個の {1,2}-距離魔法正則グラフの族を構成する。

ABSTRACT

For an arbitrary set of distances $D\subseteq \{0,1, \ldots, d\}$, a graph $G$ is said to be $D$-distance magic if there exists a bijection $f:V ightarrow \{1,2, \ldots , v\}$ and a constant {\sf k} such that for any vertex $x$, $\sum_{y\in N_D(x)} f(y) ={\sf k}$, where $N_D(x) = \{y \in V| d(x,y) \in D\}$. In this paper we study some necessary or sufficient conditions for the existence of $D$-distance magic graphs, some of which are generalization of conditions for the existence of $\{1\}$-distance magic graphs. More specifically, we study $D$-distance magic labelings for cycles and $D$-distance magic graphs for $D\subseteq\{0,1,2\}$.

研究の動機と目的

• 距離魔法ラベリングを {1}-距離および {0,1}-距離魔法ラベリングから一般化し、任意の距離集合 D ⊆ {0,1,2} に拡張すること。
• 特に D = {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} の場合に、D-距離魔法ラベリングの存在に必要な十分条件を同定すること。
• 特にサイクル、完全多重部グラフ、正則グラフといったグラフが、さまざまな D に対して D-距離魔法ラベリングを許容する条件を特徴づけること。
• 非正則グラフや直径が大きいグラフにおけるラベリングの存在に関する未解決問題を検討すること。

提案手法

• D-距離魔法ラベリングを、全単射 f: V → {1,2,…,v} として定義し、任意の頂点 x に対して距離 d ∈ D にあるすべての頂点のラベルの和が一定であることを要件とする。
• 近傍のサイズに関する議論を用いる：|ND(x)| が奇数であり、かつグラフが (D,r)-正則で r が奇数である場合、D-距離魔法ラベリングは存在しない。
• 和の公式に基づく組合せ的制約を適用する：D-距離魔法ラベリングが存在するためには、ラベルの総和が |ND(x)| と定数 k に依存する合同条件を満たす必要がある。
• 特定のエッジ規則に従って分割された集合に頂点を分割する対称的グラフ構成を用いて、{1,2}-距離魔法ラベリングの明示的例を構成する。
• {1}-距離および {0,1}-距離魔法ラベリングに関する既知の結果を活用し、{0,2}-および {1,2}-距離魔法ラベリングの条件を導出する。
• 背理法を用いる（例：2つの頂点が同じラベル和を持つが異なるラベルを持つと仮定する）ことで、特定のグラフ族における非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D ⊆ {0,1,2} のとき、どのグラフに対して D-距離魔法ラベリングが存在するか。特に D = {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} の場合に。
• RQ2 完全多重部グラフが {2}-距離魔法ラベリングを許容するための必要十分条件は何か。
• RQ3 直径 ≥4 の非正則グラフまたはグラフが {1,2}-距離魔法ラベリングを許容する無限族は存在するか。
• RQ4 直径 ≥3 のグラフが {0,1,2}-距離魔法ラベリングを許容するか、それとも直径 2 が必須か。
• RQ5 D ⊆ {0,1,2} のとき、どの木が D-距離魔法ラベリングを許容するか。

主な発見

• 同じ部分集合に属する頂点が、奇数のサイズの D-近傍を共有し、奇数の正則性を持つため、完全多重部グラフは {2}-距離魔法ラベリングではない。
• 完全対称多重部グラフ H_{n,p} は、n が偶数、または n と p がともに奇数である場合に限り、{0,2}-距離魔法ラベリングである。
• 奇数の次数 r を持つ直径 2 の r-正則グラフは、{0,2}-距離魔法ラベリングであるための必要十分条件は、r が偶数であり、2 ≤ r ≤ n−2 であることである。
• すべての n ≥ 1 に対して C₄[Ḡₙ] は {0,2}-距離魔法ラベリングである。これは、偶数次のグラフが {0,2}-距離魔法ラベリングを許容することを示している。
• 直径 3 で位数 2n+2 の n-正則グラフの無限族が存在し、{1,2}-距離魔法ラベリングである。これは、対称的頂点集合およびエッジ集合を用いて構成される。
• 直径 2 のグラフは d = 2 のとき {d}-距離魔法ラベリングではない。これは、一般に直径 d のグラフは {d}-距離魔法ラベリングではないという予想を示唆している。