[論文レビュー] Magnus embedding and algorithmic properties of groups $F/N^{(d)}$

Funda Gul, Mahmood Sohrabi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、マグヌス埋め込みを用いて、$F/N^{(d)}$ 形式の群における語問題、べき乗問題、共役問題の間の正確な還元図を確立する。コウロフカ・ノートの問題12.98を解決し、$F/N$ における語問題の決定可能性が $F/N'$ におけるべき乗問題の決定可能性を示し、$F/N'$ における共役問題は $F/N$ におけるべき乗問題と共役問題に還元可能であるが、逆は成り立たないことを示す。ほとんどの還元は多項式時間で計算可能である。

ABSTRACT

In this paper we further study properties of Magnus embedding, give a precise reducibility diagram for Dehn problems in groups of the form $F/N^{(d)}$, and provide a detailed answer to Problem 12.98 in Kourovka notebook. We also show that most of the reductions are polynomial time reductions and can be used in practical computation.

研究の動機と目的

• マグヌス埋め込みを用いて、群 $F/N^{(d)}$ における語問題、べき乗問題、共役問題の論理的関係を明確化すること。
• 自由可解群におけるこれらの問題の決定可能性に関して、コウロフカ・ノートの問題12.98を解決すること。
• 決定問題間のほとんどの還元が多項式時間で計算可能であることを確立し、実用的計算を可能にすること。
• $F/N'$ における部分集合和問題と無環グラフ属問題の複雑性を分析し、特定の条件下で NP 完全性を示すこと。

提案手法

• $F/N'$ の要素を群環 $\mathbb{Z}[F/N]$ 上の $2\times 2$ 行列として表現するマグヌス埋め込みの使用。
• 特に $\mathbf{WP}(F/N) \Rightarrow \mathbf{PP}(F/N')$ および $\mathbf{PP}(F/N) \Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$ の還元を通じた決定問題間の論理的含意の確立。
• HNN 拡大を用いた反例の構成により、$\mathbf{CP}(F/N) \not\Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$ を示すこと。
• ブリトゥンの補題を適用して、構築された HNN 拡大における語問題とべき乗問題の決定可能性を保証すること。
• 多項式時間の仮定の下で、ゼロ・オール方程式問題（ZOE）を $F/N'$ における部分集合和問題に還元すること。
• 無限大のランク $N/N'$ と多項式時間での基底構成といった群論的性質の使用により、NP 完全性の結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $F/N$ における語問題の決定可能性は、$F/N'$ におけるべき乗問題の決定可能性を示すか？
• RQ2 $F/N'$ における共役問題は、$F/N$ におけるべき乗問題と共役問題に還元可能か。もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ3 $\mathbf{CP}(F/N)$ が決定可能であっても、$\mathbf{CP}(F/N')$ が非決定的であることは可能か？
• RQ4 $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ のとき、$F/N'$ における部分集合和問題の計算複雑性は何か？
• RQ5 $F/N'$ における無環グラフ属問題が P に属するか、NP 完全であるかの条件は何か？

主な発見

• $F/N$ における語問題は $F/N'$ におけるべき乗問題に還元可能であり、この還元は多項式時間で計算可能である。
• $F/N$ におけるべき乗問題は $F/N'$ における共役問題に還元可能であり、この還元も多項式時間で計算可能である。
• ある群 $F/N$ に対して $\mathbf{CP}(F/N)$ は決定可能だが $\mathbf{CP}(F/N')$ は非決定的である例が存在し、$\mathbf{CP}(F/N) \not\Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$ を示している。
• $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ かつ $N \neq \{1\}$ ならば、$\mathbf{SSP}(F/N')$ は $\mathbf{NP}$-完全である。
• $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ かつ $[F:N] < \infty$ ならば、$\mathbf{SSP}(F/N') \in \mathbf{P}$ である。
• $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ かつ $N \neq \{1\}$ ならば、すべての $d \geq 2$ に対して $F/N^{(d)}$ における部分集合和問題は $\mathbf{NP}$-完全である。