[論文レビュー] Maharam-Types and Lyapunov's Theorem for Vector Measures on Locally Convex Spaces without Control Measures

M. Ali Khan, Nobusumi Sagara|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、制御測度を必要としない局所凸ハウスドルフ空間（lcHs）におけるベクトル測度に対して、Bourbaki–Kluvánek–Lewis積分を用いて、Lyapunovの凸性定理の正確な形を導出することにより、BDS性質を有さないlcHsにおけるLyapunov凸性定理を確立する。また、ベクトル測度代数の飽和性を非分離性を有するブールσ代数を用いて特徴づけ、飽和性がLyapunov凸性定理および制御系におけるバン・バン原理と同値であることを証明する。

ABSTRACT

We formulate the saturation property for vector measures in lcHs as a nonseparability condition on the derived Boolean $σ$-algebras by drawing on the topological structure of vector measure algebras. We exploit a Pettis-like notion of vector integration in lcHs, the Bourbaki--Kluvánek--Lewis integral, to derive an exact version of the Lyapunov convexity theorem in lcHs without the BDS property. We apply our Lyapunov convexity theorem to the bang-bang principle in Lyapunov control systems in lcHs to provide a further characterization of the saturation property.

研究の動機と目的

• 制御測度を必要としないlcHsにおけるベクトル測度の飽和性を、導出されたブールσ代数の非分離性を用いて定式化すること。
• Bourbaki–Kluvánek–Lewis積分を用いて、BDS性質を有さないlcHsへのLyapunov凸性定理の拡張を行うこと。
• lcHsにおける制御系のバン・バン原理とLyapunov制御系を用いて、飽和性を特徴づけること。
• 無限次元設定における飽和性、Lyapunov凸性、およびバン・バン原理の同値性を確立すること。

提案手法

• ベクトル測度から導かれる可測集合のブールσ代数における非分離性条件として飽和性を形式化すること。
• 制御測度を要件としないlcHsにおけるペティス型のベクトル積分法としてBourbaki–Kluvánek–Lewis積分を用いて、積分を定義すること。
• 文献[17]のベクトル測度代数の位相的構造を用いて、L¹(m)空間の完備性および分離性を分析すること。
• 積分空間L¹(n_i)の直積における弱コンパクト性および凸性の議論を用いて、Lyapunov測度の性質を確立すること。
• 可測選択と制御系における到達可能集合を関連付ける積分作用素T: ∏L¹(n_i) → ∏X_iを用いること。
• バン・バン原理を適用し、到達可能集合の弱コンパクト性が飽和性を意味することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御測度を必要としないlcHsにおけるベクトル測度の飽和性は、どのように定式化できるか？
• RQ2 BDS性質を有さないlcHsにおいて、Lyapunov凸性定理の正確な形を確立できるか？
• RQ3 lcHsにおける飽和性、バン・バン原理、およびLyapunov制御系の関係は何か？
• RQ4 ベクトル測度の飽和性は、無限次元lcHsにおけるその値域の凸性および弱コンパクト性と同値か？
• RQ5 lcHsにおける到達可能集合の性質を用いて、Lyapunov凸性定理を特徴づけられるか？

主な発見

• lcHsにおけるベクトル測度の飽和性は、関連する可測集合のブールσ代数の非分離性と同値である。
• BDS性質を有さないlcHsにおいて、Lyapunov凸性定理が成り立つのは、ベクトル測度代数が飽和的である場合に限る。
• すべてのベクトル測度m: F → X^Iに対して、バン・バン原理が成り立つのは、測度mが飽和的である場合に限る。
• 閉じたベクトル測度m: F → X^Iが、すべてのΓ ∈ M_bfc(Ω, ℝ^I)に対してLyapunov制御系であるのは、mが飽和的である場合に限る。
• 到達可能集合A_Γ(m)が極値選択集合A_ex_Γ(m)と等しいのは、測度が飽和的である場合に限る。これにより、制御系と飽和性の双対性が確立される。
• 積分作用素T: ∏L¹(n_i) → ∏X_iは、弱位相に関して連続であり、飽和性のもとでベクトル測度の値域の弱コンパクト性が保証される。