[論文レビュー] Mahler equations and rationality

Reinhard Schäfke, Michael F. Singer|arXiv (Cornell University)|May 28, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、乗法的に独立な整数 $p$ と $q$ を用いて、$\mathbb{C}(x)$ 上で $p$-Mahler および $q$-Mahler 方程式を満たす形式的べき級数が必ず有理型であることを、自己完結的な証明により示している。証明は、一貫性を持つMahler方程式系の解析に依拠し、解の解析接続と多項式的成長の性質を確立する。最終的に、成長推定と $\mathbb{C}$ 上へのメラモーフィックな接続を用いて、有理型性が結論づけられる。

ABSTRACT

We give another proof of a result of Adamczewski and Bell concerning Mahler equations: A formal power series satisfying a $p-$ and a $q-$Mahler equation over ${\mathbb C}(x)$ with multiplicatively independent positive integers $p$ and $q$ is a rational function. The proof presented here is self-contained and is essentially a compilation of proofs contained in the recent preprint "Consistent systems of linear differential and difference equations", arXiv:1605.02616 [math.CA], by the same authors.

研究の動機と目的

• 乗法的に独立な整数 $p$ と $q$ を用いて、$\mathbb{C}(x)$ 上で $p$-Mahler および $q$-Mahler 方程式を満たす形式的べき級数の有理型性を、新たな自己完結的証明により示すこと。
• 一貫性を持つMahler系の形式的解が、$\mathbb{C}$ 上で有限個の極をもつメラモーフィック関数へと解析接続可能であることを確立すること。
• このような解が無限遠点において多項式的成長を示すことを示し、有理型性の結論に至る重要なステップを提供すること。
• 一貫性を持つ線形差分方程式、$q$-差分方程式、Mahler方程式の系の還元技術を統合・拡張すること。
• AdamczewskiとBellらの手法に依存せず、Chebotarevの密度定理やCobhamの定理といった道具を避ける代替手法を提供すること。

提案手法

• 乗法的に独立な $p$ と $q$ を用いて、$K = \mathbb{C}[[x]][x^{-1}]$ 上のローレンツ級数の場で、$\sigma_p(f(x)) = f(x^p)$ および $\sigma_q(f(x)) = f(x^q)$ を定義するMahler作用素を導入し、$p$ と $q$ が乗法的に独立であるとき、これらは可換である。
• 解 $f(x)$ の繰り返し作用により生成される、$\mathbb{C}(x)$ 上の有限次元ベクトル空間 $W$ を構成し、$\sigma_p$ および $\sigma_q$ に関して不変である。その作用を行列 $A(x), B(x) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}(x))$ を用いて表現する。
• $\sigma_p$ と $\sigma_q$ の可換性から、一貫性条件 $A(x^q)B(x) = B(x^p)A(x)$ を導出し、系の整合性を保証する。
• 切断と付値推定を用いて、解 $g(x)$ が $0$ の近傍で収束することを証明する。
• 対数リーマン面における周期性とフーリエ級数の性質を活用し、$g(x)$ が $\mathbb{C}$ 上で有限個の極をもつメラモーフィック関数へと解析接続可能であることを示す。
• アニュラス被覆と反復的評価を用いて、$|x| \to \infty$ のとき $|g(x)|$ が多項式的成長を示すことを確立し、これにより有理型性に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的に独立な $p$ と $q$ を用いて、2つのMahler方程式を満たす形式的べき級数が有理型になる条件は何か？
• RQ2 Chebotarevの密度定理やCobhamの定理といった数論的道具に依存せずに、このような解の有理型性を確立できるか？
• RQ3 一貫性を持つ $p$-および $q$-Mahler方程式系の整合性は、その解の解析的性質をどのように明らかにできるか？
• RQ4 一貫性を持つMahler系の解は、複素平面上でどのような成長およびモノドロミー的性質を示すか？
• RQ5 解析接続と成長推定のみを用いて、共通解の有理型性を証明することは可能か？

主な発見

• 乗法的に独立な整数 $p$ と $q$ を用いて、$\mathbb{C}(x)$ 上で $p$-Mahler および $q$-Mahler 方程式を満たす形式的べき級数 $f(x) \in \mathbb{C}[[x]][x^{-1}]$ は、必然的に有理型である。
• 一貫性を持つ系 $y(x^p) = A(x)y(x)$, $y(x^q) = B(x)y(x)$ の解 $g(x)$ は、$0$ の近傍で収束する。
• 解 $g(x)$ は、$\mathbb{C}$ 上で有限個の極をもつメラモーフィック関数へと解析接続可能である。
• 解 $g(x)$ は、$|x| \to \infty$ のとき多項式的成長を示し、$|x|$ が十分に大きいとき $|g(x)| \leq L (\log|x|)^d |x|^{M/(p-1)}$ を満たす。ここで $L, d, M > 0$ は適当な定数である。
• 解析接続と多項式的成長の組み合わせにより、$g(x) \in \mathbb{C}(x)^n$ が成り立ち、したがって元の解 $f(x)$ は有理型であることが結論づけられる。
• 有限体への還元や局所的・大域的原理に依存せず、AdamczewskiとBellらの手法とは異なり、直接的な解析的代替手法を提供する。