[論文レビュー] Mahler's Measure and the Dilogarithm (II)

David W. Boyd, Fernando Rodriguez-Villegas+1 more|ArXiv.org|Aug 5, 2003

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 19被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、Bloch–Wignerの二重対数関数とK理論を用いて、特定の2変数ローレンツ多項式のMahler測度と1個のカスプを持つ算術的双曲3次元多様体の双曲体積の間の明確な関係を確立する。Mahler測度のπ倍が多様体Nの双曲体積に等しくなることを証明し、明示的計算と表現論を通じて、数論、双曲幾何学、代数的K理論の深い結びつきを確認する。

ABSTRACT

We continue to investigate the relation between the Mahler measure of certain two variable polynomials, the values of the Bloch--Wigner dilogarithm $D(z)$ and the values $ζ_F(2)$ of zeta functions of number fields. Specifically, we define a class $\A$ of polynomials $A$ with the property that $πm(A)$ is a linear combination of values $D$ at algebraic arguments. For many polynomials in this class the corresponding argument of $D$ is in the Bloch group, which leads to formulas expressing $πm(A)$ as a linear combination with unspecified rational coefficients of $V_F$ for certain number fields $F$ ($V_F := c_Fζ_F(2)$ with $c_F>0$ an explicit simple constant). The class $\A$ contains the $A$-polynomials of cusped hyperbolic manifolds. The connection with hyperbolic geometry often provides means to prove identities of the form $πm(A)= r V_F$ with an explicit value of $r\in \Q^*$. We give one such example in detail in the body of the paper and in the appendix.

研究の動機と目的

• 特定のローレンツ多項式のMahler測度と双曲3次元多様体体積の間の厳密な関係を確立すること。
• 1個のカスプを持つ特定の算術的双曲3次元多様体Nに対してπ·m(A′_N) = vol(N)を証明すること。
• ハイパボリックノット補空間のA多項式が、Mahler測度と特別なL値が関係するクラスA(Q)に属することを示すこと。
• K理論、表現論、およびGröbner基底計算を組み合わせることで、このような恒等式を検証する構成的技法を提供すること。

提案手法

• 双曲3次元多様体体積とローレンツ多項式のMahler測度の両方をBloch–Wignerの二重対数関数で表現する。
• 1つの複素埋め込みを持つ数体Fに対して、ζ_F(2)と算術的双曲3次元多様体の体積を関係づけるBorelの定理を適用する。
• ハイパボリック3次元多様体NのA多項式を、π₁(N)のSL₂(ℂ)表現から得られるローレンツ多項式A ∈ A(Q)として用いる。
• Macaulay2を用いてGröbner基底を計算し、特定のトレース条件を満たす表現の多様体から投影することでA多項式を計算する。
• K₂(X)⊗ℚにおけるx ∧ yの三角形分割を用いて、理想四面体への分解をモデル化し、双曲体積の分解と類似させる。
• Mahler測度の積分を1パラメータ族のSL₂(ℂ)表現に沿った体積関数の微分と関連づけ、体積関数の導関数が-log|x₁(t)|であることに基づき、π·m(B) = vol(N)を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパボリック3次元多様体に関連するローレンツ多項式のMahler測度が、正確にその双曲体積に等しくなることはあり得るか？
• RQ2 Bloch–Wignerの二重対数関数は、算術的双曲3次元多様体におけるMahler測度と双曲体積をどの程度まで橋渡しできるか？
• RQ3 K理論と表現論を用いて、π·m(A) = r·V_F（r ∈ ℚ*）の形の恒等式を体系的に導出できる方法はあるか？
• RQ4 A多項式は、ハイパボリックノット補空間の幾何的および算術的不変量をどのように符号化しているか？

主な発見

• 本稿は、多様体Nに対してπ·m(A′_N) = vol(N)が成り立つことを証明し、幾何的・算術的双対性の深い関係を確認した。
• 多項式B(x,y) = -y²x³ + (y³ - 3y² + y)x² + (-y² + 3y - 1)x + y のMahler測度について、π·m(B) = vol(N) が成り立つ。
• 多様体NのA多項式は(M² - L)(M⁶L² - M⁴L³ - 3M⁴L² - M⁴L + M²L² + 3M²L + M² - L)として計算され、最初の因子は可約表現に対応するため除外された。
• M²L + 1という項は、表現多様体のSeifertファイバー部に対応し、A多項式の構造を確認した。
• 多様体Nの体積はπ·d₁₅/6として示され、d₁₅は虚二次体のデデキンドゼータ関数の特別な値に関連する。
• 導出は、1パラメータ族の表現に沿った体積関数の微分が-log|x₁(t)|に等しいという事実に依拠しており、Mahler測度の積分が体積の変化と関連づけられた。