[論文レビュー] Majorana equation and exotics: higher derivative models, anyons and noncommutative geometry

Mikhail S. Plyushchay|ArXiv.org|Apr 11, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

本稿はマヨラナ方程式と奇妙な量子系の深い関係を確立し、高階微分相対論的粒子モデルがマヨラナ方程式を規定することを示している。一方、(2+1)次元の類似形は任意onsおよび奇妙な平面的ガリレオ対称性を記述する。主な貢献は、非相対論的極限を通じてマヨラナ方程式を非可換幾何学およびチェーン＝シモンズゲージ理論と結びつけ、隠れた超対称構造を明らかにし、一次のラグランジアンによりスペクトル問題を解消することにある。

ABSTRACT

In 1932 Ettore Majorana proposed an infinite-component relativistic wave equation for particles of arbitrary integer and half-integer spin. In the late 80s and early 90s it was found that the higher-derivative geometric particle models underlie the Majorana equation, and that its (2+1)-dimensional analogue provides with a natural basis for the description of relativistic anyons. We review these aspects and discuss the relationship of the equation to the exotic planar Galilei symmetry and noncommutative geometry. We also point out the relation of some Abelian gauge field theories with Chern-Simons terms to the Landau problem in the noncommutative plane from the perspective of the Majorana equation.

研究の動機と目的

• 高階微分相対論的粒子モデルがマヨラナ方程式およびその(2+1)次元類似形を実現する仕組みを明確化すること。
• (2+1)次元マヨラナ方程式と分数統計を有する相対論的任意ons理論との関係を確立すること。
• (2+1)次元マヨラナ方程式の非相対論的極限が、奇妙な平面的ガリレオ対称性および非可換座標を持つ高階微分モデルを導く仕組みを示すこと。
• マヨラナ枠組みを通じて、チェーン＝シモンズ項を有するアーベルゲージ理論が非可換平面におけるランダウ問題とどのように関係するかを示すこと。
• 特に非相対論的任意onsおよび電磁気的結合を含む文脈において、マヨラナ型理論の超対称的拡張の可能性を探ること。

提案手法

• 本稿は(3+1)次元および(2+1)次元マヨラナ方程式を出発点とし、曲率および torsion 項を含む高階微分相対論的粒子モデルの構造を分析する。
• (2+1)次元マヨラナ方程式に特殊な非相対論的極限（c→∞, s→∞, s/c²→κ=const）を適用し、奇妙なガリレオ対称性を有する高階微分平面粒子モデルを導出する。
• 高階微分作用から、境界スペクトルを回復させるとともに非可換座標を導入する、第一階の奇妙なデュヴァル＝ホルバシラグランジアンを導出する。
• 高階微分作用から得られる平面系を、複数のチェーン＝シモンズ項を有する(2+1)次元アーベルゲージラグランジアンを簡約することで、同一の第一階形式に還元し、チェーン＝シモンズ理論と結びつける。
• モデルの量子スピンスペクトルを分析し、自由な高階微分系では可約表現が得られ、マヨラナ＝ディラック＝レヴィ＝レブロン型方程式では不可約表現が得られることを示す。
• マヨラナスペクトルに隠れた超対称性を同定し、変形ヘイゼンベルク代数の特定の有限次元表現に対して超対称的拡張を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階微分相対論的粒子モデルは、マヨラナ方程式およびその(2+1)次元類似形をどのように実現するか？
• RQ2 非相対論的極限は、(2+1)次元マヨラナ方程式が奇妙な平面的ガリレオ対称性および非可換座標と結びつく仕組みにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 チェーン＝シモンズ項を有するアーベルゲージ理論は、マヨラナ方程式を通じて非可換平面におけるランダウ問題とどのように関係するか？
• RQ4 無限次元成分を有するマヨラナ型場におけるスピン統計則の関係は、どのように規定されるか？特に分数スピンの任意onsに関して。
• RQ5 マヨラナ＝ディラック＝レヴィ＝レブロン方程式に対して、特に非相対論的任意onsの文脈で、超対称的拡張を構成可能か？

主な発見

• (3+1)次元マヨラナ方程式は、共変ディラックスピンルーパーの統合条件として現れ、その高階微分粒子モデルは質量スペクトル M_s ∝ (const + s)^{-1} を有する無限次元場を再現する。
• (2+1)次元マヨラナ方程式の類似形は、任意の実スピン値を有する相対論的任意onsを記述し、任意ons理論の自然な基底を提供する。
• (2+1)次元マヨラナ方程式の非相対論的極限は、非有界スペクトルを有する高階微分平面粒子モデルを導くが、これは境界付きの力学を有する奇妙なデュヴァル＝ホルバシラグランジアンに同型写像可能である。
• 高階微分モデルから導かれる相互作用を有する奇妙な粒子系は、非可換座標および有効質量 m* = m(1 + θ²/4)⁻¹ を有する第一階ラグランジアンと等価であり、非可換幾何学と整合的である。
• (2+1)次元アーベルゲージ理論に複数のチェーン＝シモンズ項を導入すると、同一の第一階ラグランジアンに還元され、チェーン＝シモンズ理論と非可換平面におけるランダウ問題との直接的な関係を確立する。
• マヨラナスペクトルには隠れた超対称構造が存在し、反射を伴う変形ヘイゼンベルク代数の特定の有限次元表現に対して超対称的拡張が構成可能である。