[論文レビュー] Majorants of meromorphic functions with fixed poles

Anton Baranov, Alexander Borichev+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、下側半平面上に固定された極をもつブラシケ積 $ B $ に関連するモデル部分空間 $ K_B $ におけるメロモーフィック関数の許容的上限関数の鋭い条件を確立する。ヒルバート変換技術と準解析的定理を用いて、内関数の引数がゆっくりと増加する場合（例えば零点が疎であるか、べき乗的成長を示す場合）、任意の多項式より速く減衰する上限関数は、対数的積分条件が満たされない限り許容的でないことが示され、これはベアリング–マリヴァイン理論をペーリー–ウィーナ空間を超えたモデル部分空間へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let $B$ be a meromorphic Blaschke product in the upper half-plane with zeros $z_n$ and let $K_B=H^2\ominus BH^2$ be the associated model subspace of the Hardy class. In other words, $K_B$ is the space of square summable meromorphic functions with the poles at the points $\bar z_n$. A nonnegative function $w$ on the real line is said to be an admissible majorant for $K_B$ if there is a non-zero function $f\in K_B$ such that $|f|\le w$ a.e. on $\mathbb{R}$. We study the relations between the distribution of the zeros of a Blaschke product $B$ and the class of admissible majorants for the space $K_B$.

研究の動機と目的

• 固定された極をもつメロモーフィックブラシケ積に関連するモデル部分空間 $ K_B $ に対する許容的上限関数のクラスを特徴づけること。
• ペーリー–ウィーナ空間における上限関数に関するベアリング–マリヴァイン理論を、ハーディー空間 $ H^2 $ 内のより一般的なモデル部分空間 $ K_B $ へ拡張すること。
• ブラシケ積 $ B $ の零点の分布が $ K_B $ に対する非自明な上限関数の存在に与える影響を調査すること。
• 上限関数 $ w $ に対して $ |f| \leq w $ が $ \mathbb{R} $ 上 almost everywhere で成り立つような非ゼロの $ f \in K_B $ が存在するための鋭い減衰条件を特定すること。

提案手法

• 上限関数の対数の負値 $ \Omega = -\log w $ のヒルバート変換を用いて、$ K_B $ 内での上限関数の許容性を分析し、ハビンとマシュレジの手法を拡張する。
• デンジョー–カルレマンの準解析的定理を応用し、フーリエ変換の導関数が原点で消えるならば、関数は恒等的にゼロでなければならないことを示す。
• ブラシケ積の摂動を用いて、$ K_{B^\#} $ 内に補助関数 $ g \in K_{B^\#} $ を構成し、$ B^\# $ が零点をずらした形を持つことから、$ K_B $ における許容性条件を $ K_{B^\#} $ へ移す。
• ラジェンドル変換の議論を用いて、係数 $ \sqrt{y_n} $ の増加と上限関数の減衰を関数 $ Y(r) = -\log y(r) $ を通じて関連付ける。
• 関数 $ f \in K_B $ に対するフーリエ変換 $ F(x) = \int f(t)e^{-itx}dt $ を分析し、滑らかさと減衰条件が成り立つと、上限関数が速く減衰する場合には $ f \equiv 0 $ となることを示す。
• 零点の分布と許容性の関係を結ぶために、$ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) $ のような級数の発散という必要十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラシケ積 $ B $ の零点列 $ \{z_n\} $ に対して、上限関数 $ w $ がモデル部分空間 $ K_B $ に対して許容的であるための条件は何か？
• RQ2 上限関数 $ w $ の $ \mathbb{R} $ 上での減衰速度は、$ K_B $ 内の極 $ \overline{z}_n $ の分布とどのように関係するか？
• RQ3 ペーリー–ウィーナ空間におけるベアリング–マリヴァインの定理は、非一様に分布する零点をもつモデル部分空間 $ K_B $ へ拡張可能か？
• RQ4 関数 $ Y(e^x) = -\log y(e^x) $ の凸性が、急激に減衰する上限関数の許容性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 関数 $ f \in K_B $ のフーリエ変換のすべての導関数が原点でゼロとなる場合、$ f \equiv 0 $ となるのはいつか？ そしてこれは上限関数の減衰とどのように関係するか？

主な発見

• 零点 $ z_n = n + i y_n $ の虚部 $ \{y_n\} $ が $ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) < \infty $ を満たすならば、任意の偶関数で非増加な上限関数 $ w $ で $ \mathcal{L}(w) < \infty $ を満たすものは、$ K_{B_1} $ に対して許容的である。
• もし $ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) = \infty $ であり、$ Y(r) = -\log y(r) $ が凸で、さらに $ Y(e^x) $ が $ \mathbb{R} $ 上で凸であるならば、任意の多項式より速く減衰する上限関数 $ w $ は $ K_{B_1} $ に対して許容的でない。
• 関数 $ g(t) = \sum \sqrt{y_n} c_n / (t - n + i(y_n + 1)) $ は、$ f \in K_B $ から構成され、$ t > 1 $ に対して $ |g(t)| \leq t^A e^{-Y(t)} $ を満たす。これにより、係数の減衰と上限関数の減衰が関連づけられる。
• 関数 $ f \in K_B $ のフーリエ変換 $ F(x) $ がすべての $ k \geq 0 $ に対して $ F^{(k)}(0) = 0 $ を満たし、さらに $ \int_1^\infty r^{-2} \log T(r) dr = \infty $ ならば、$ f \equiv 0 $ である。これは、上限関数が速く減衰する場合には、このような $ f $ は存在しないことを意味する。
• 古典的デンジョー–カルレマンの準解析的定理を適用し、$ \sup_n \sqrt{y_n} (en)^k \leq \exp(\sup_r [k \log r - \frac{1}{2} Y(r/e)]) $ を満たすならば、対数的積分の発散が成立する場合に $ f \equiv 0 $ となる。
• この結果は、虚軸上に零点をもつブラシケ積やべき乗的成長を示すものへも拡張可能であり、零点の分布が対数的収束条件を満たさない限り、任意の多項式より速く減衰する上限関数に対して許容性は成立しない。