[論文レビュー] Majorization, Interpolation and noncommutative Khintchine inequalities

Léonard Cadilhac|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、右および左単調性の性質を用いて、カップル $(L^p(0,\alpha), L^q(0,\alpha))$ のための擬バナッハ対称補間空間の特徴づけを確立し、Levitina, Sukochev, Zanin による系列空間に関する予想を解決するとともに、非可換キンチン型不等式を対称関数空間へ拡張する。主な貢献は、主要化と補間の間の双対性を確立し、非可換 $L^p$-空間におけるキンチン型不等式の新たな十分条件を可能にするものである。

ABSTRACT

Let $0<p<q\leq\infty$ and $\alpha \in (0,\infty]$. We give a characterization of quasi-Banach interpolation spaces for the couple $(L_p(0,\alpha),L_q(0,\alpha))$ in terms of two monotonicity properties, extending known results which mainly dealt with Banach spaces. This enables us to recover recent results of Cwikel and Nilsson on sequence spaces and to solve a conjecture of Levitina, Sukochev and Zanin in the setting of function spaces. We apply the results obtained to characterize symmetric spaces in which the standard forms of the noncommutative Khintchine inequalities hold.

研究の動機と目的

• $(L^p(0,\alpha), L^q(0,\alpha))$ のための擬バナッハ対称補間空間を右および左単調性を用いて特徴づける。
• Levitina, Sukochev, Zanin が提起した、系列空間が $\ell^p$ と $\ell^2$ の間の補間空間であるという予想を解決する。
• 主要化技法を用いて、非可換キンチン型不等式の理論を対称関数空間へ拡張する。
• $p$-凸性、$q$-凹性、および単調性を用いた補間との関係を確立する。

提案手法

• 減少順に並べた関数を用いた右および左主要化を導入する：$f \triangleleft g$ は $\int_t^\infty f^* \geq \int_t^\infty g^*$ を意味し、$f \succ g$ は $\int_0^t f^* \geq \int_0^t g^*$ を意味する。
• 右-$q$-単調性および左-$p$-単調性を定義し、$|f|^q \triangleleft |g|^q$ または $|f|^p \succ |g|^p$ ならば $g \in E$ かつ $\|g\|_E \leq C\|f\|_E$ となることを保証する条件とする。
• Lorentz-Shimogaki 型定理を擬バナッハ設定に応用し、古典的補間理論を一般化する。
• K-汎関数およびボイド指数を用いて、単調性と補間性質の関係を結びつける。
• 非可換キンチン型不等式に理論を適用し、$G_x = \sum x_i \otimes \xi_i$ のノルムを対称空間で分析する。
• キンチン型不等式と単調性による補間の間の同値性を確立する。例えば、左-2-単調性のもとで $\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、対称的擬バナッハ関数空間が $(L^p, L^q)$ の補間空間となるか？
• RQ2 Levitina, Sukochev, Zanin が提起した予想に従い、右-2-単調性が系列空間において $\ell^p$ と $\ell^2$ の間の補間空間を特徴づけるか？
• RQ3 自由ハールユニタリーやラデマッハ変数に対して、非可換キンチン型不等式が対称関数空間でいつ成立するか？
• RQ4 $p$-凸性と $q$-凹性は、対称空間における左および右単調性とどのように関係するか？
• RQ5 キンチン型不等式を特徴づける際に、ファトウ性質を緩和または取り除くことは可能か？

主な発見

• 定理 1.2 は、対称的擬バナッハ関数空間 $E$ が右-$q$-単調であるための必要十分条件が、ある $p \leq q$ が存在して $E$ が $(L^p, L^q)$ の補間空間であることであることを示し、関数空間設定における予想を解決する。
• 定理 4.1 は、対称空間 $E$ が $(L^p, L^q)$ の補間空間であることと、左-$p$-単調かつ右-$q$-単調であることとが同値であることを示す。
• 定理 6.4 は、自由ハールユニタリに対して、$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$ が成り立つための必要十分条件が $E \in \mathrm{Int}(L^2, L^\infty)$ であることであり、$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E}$ が成り立つための必要十分条件が $E \in \mathrm{Int}(L^p, L^2)$ for some $p < 2$ であることであることを示す。
• 定理 6.6 は、ラデマッハ変数に対して、$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$ が成り立つための必要十分条件が $E \in \mathrm{Int}(L^2, L^q)$ for some $q > 2$ であることであり、$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E}$ が成り立つための必要十分条件が $E \in \mathrm{Int}(L^p, L^2)$ for some $p < 2$ であることであることを示す。
• 補題 6.5 は、$L^\infty(0,\alpha)$ においてキンチン型不等式が成り立つならば $\alpha_E \neq 0$ であることを示し、キンチン型性質とボイド指数の関係を確立する。
• 本稿は、ファトウ性質のもとで、$p$-凸性と $q$-凹性が左-$p$-単調性および右-$q$-単調性と同値であることを示し、既知の補間の十分条件を一般化する。