[論文レビュー] Making a K_4-free graph bipartite

Benny Sudakov|ArXiv.org|Jun 27, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$n$ 頂点の $K_4$-freeなグラフは、高々 $n^2/9$ 条の辺を削除することで二部グラフにできることが証明されており、等号が成立するのは各部が $n/3$ 個の頂点をもつ完全3部グラフの場合に限る。この結果は、長年にわたり未解決であったエレミスの予想を裏付け、正則性補題と $K_4$-freeなグラフの構造的解析を用いて、タイトな極値的境界を確立した。

ABSTRACT

We show that every K_4-free graph G with n vertices can be made bipartite by deleting at most n^2/9 edges. Moreover, the only extremal graph which requires deletion of that many edges is a complete 3-partite graph with parts of size n/3. This proves an old conjecture of P. Erdos.

研究の動機と目的

• パール・エレミスが提起した、$K_4$-freeなグラフを二部グラフにするために削除すべき辺の最大数に関する予想を解決すること。
• $K_4$-freeなグラフにおける辺の削除数の上界に達する極値的グラフを特定すること。
• シュレーディンガーの正則性補題を用いて、色数が4である $H$-freeなグラフへこの結果を拡張すること。
• $K_r$-freeな稠密なグラフにおける二部分割問題の、漸近的タイトな境界を導出すること。

提案手法

• Szemerédiの正則性補題を適用して、$\epsilon$-正則なペアに分割された、部分のサイズが有界な頂点集合に分割する。
• 正則性補題を用いて、多くの密度の高い正則ペアを持つグラフは $K_4$ を含むことになり、$K_4$-freeness に反する。
• $n^2/9$ を超える辺を持つ任意の $K_4$-freeなグラフは、密度の高い3部グラフ構造を持つ必要があることを証明する。
• 極値的グラフ論を用いて、$n^2/9$ の境界に到達する唯一のグラフは、各部が等しいサイズ $n/3$ の完全3部グラフであることを示す。
• $\chi(H) = 4$ である固定された $H$ に対して、$H$-freeなグラフに正則性補題を適用し、密度条件を満たせば完全4部グラフ部分グラフを埋め込む。
• 主定理からの辺の削除境界と密度・正則性の議論を組み合わせて、$H$-freeなグラフにおける漸近的境界 $ (1+o(1))n^2/9 $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $n$ 頂点の $K_4$-freeなグラフを二部グラフにするために、最大で何本の辺を削除する必要があるか？
• RQ2 各部が $n/3$ 個の頂点をもつ完全3部グラフは、$n^2/9$ 本の辺の削除を必要とする唯一の極値的グラフか？
• RQ3 $n^2/9$ の境界を、色数が4である $H$-freeなグラフへ拡張できるか？
• RQ4 $K_4$-freeなグラフの極値的構成は、$r > 4$ の $K_r$-freeなグラフに対する一般化されたパターンを示唆するか？
• RQ5 正則性補題を用いて、$K_r$-freeなグラフにおける辺の削除数のタイトな境界を導出できるか？

主な発見

• 任意の $n$ 頂点の $K_4$-freeなグラフは、高々 $n^2/9$ 本の辺を削除することで二部グラフにできる。
• 各部が $n/3$ 個の頂点をもつ完全3部グラフは、正確に $n^2/9$ 本の辺の削除を必要とする唯一のグラフである。
• $n^2/9$ の境界は漸近的にタイトであり、これ以上改善できない。
• 任意の固定された $H$ に対して $\chi(H) = 4$ であるとき、$n$ 頂点の $H$-freeなグラフは、高々 $(1+o(1))n^2/9$ 本の辺を削除することで二部グラフにできる。
• この結果は、チュンとグレアムによる $K_4$-freeなグラフにおける局所的密度に関する予想を支持する。
• 正則性補題と極値的グラフ構造を用いた証明手法は、$K_r$-freeなグラフにおける $r$ をより大きく拡張するためのフレームワークを提供する。