[論文レビュー] Making spanning graphs

Peter Allen, Julia Böttcher+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$K_n$ 上の(1:b)メイカー・ブレーイャー・ゲームにおいて、$b \leq c(n/\log n)^{1/D}$ のとき、メイカーは最大次数 $\Delta(H) \leq D$ を満たすすべての有界次数グラフ $H$ を含むスパンニング部分グラフを保証できることを確立している。また、次数の低下度が $(D-1)/2$ 以下のグラフに対しても同様の保証が成り立つ。この結果は、$K_3$-および $K_4$-ファクターに対して対数要因を除いてタイトである。

ABSTRACT

We prove that for each $D\ge 2$ there exists $c>0$ such that whenever $b\le c\big( frac{n}{\log n}\big)^{1/D}$, in the $(1:b)$ Maker-Breaker game played on $E(K_n)$, Maker has a strategy to guarantee claiming a graph $G$ containing copies of all graphs $H$ with $v(H)\le n$ and $Δ(H)\le D$. We show further that the graph $G$ guaranteed by this strategy also contains copies of any graph $H$ with bounded maximum degree and degeneracy at most $ frac{D-1}{2}$. This lower bound on the threshold bias is sharp up to the $\log$-factor when $H$ consists of $ frac{n}{3}$ vertex-disjoint triangles or $ frac{n}{4}$ vertex-disjoint $K_4$-copies.

研究の動機と目的

• メイカーが $E(K_n)$ 上の(1:b)メイカー・ブレーィャー・ゲームにおいて、最大次数 $\Delta(H) \leq D$ を満たすすべてのグラフ $H$ を含むスパンニンググラフを保証できるようなバイアス $b$ の閾値を特定すること。
• この保証を、最大次数が有界で、かつ低下度が $(D-1)/2$ 以下のグラフ $H$ に拡張すること。
• 導出されたバイアス閾値が、$K_3$-および $K_4$-ファクター・ゲームにおいて、漸近的に対数要因を除いて最適であることを示すこと。
• ブレーィャーが敵対的なエッジ選択を行う場合でも成功する決定的戦略をメイカーに提供すること。
• $K_3$-および $K_4$-ファクターに対して、ブレーィャーの戦略を用いて境界のタイトネスを確立し、閾値を著しく改善できないことを示すこと。

提案手法

• メイカーに確率的戦略を用いる：$K_n$ のエッジを一様にランダムに順序付け、その順にエッジを獲得するが、ブレーィャーに既に取られている場合は飛ばす。
• ランダムグラフのグローバルレジリエンスを活用する：$p \gg n^{-1/m(H)}$ のとき、$G(n,p)$ は通常、正の割合のエッジを削除された後でもすべての $H$ のコピーを含む。
• 独立集合を用いた分割戦略を用いて、減少度が $(D-1)/2$ 以下のグラフを、グリーディー埋め込み戦略により埋め込む。
• 次数制約に基づいて頂点集合を独立集合に再帰的に分解し、各部分に十分な密度を確保することで埋め込みを可能にする。
• 固定頂点 $v_0$ のメイカーのグラフ内での次数を $n^{2/3}$ に制限し、その近傍に三角形を形成させない戦略を用いて、$K_4$-ファクターの形成をブロックするブレーィャー戦略を設計する。
• 次数に基づく優先順位を用いて近傍内のエッジ獲得を制御する：ブレーィャーは $N_{G_M}(v_0)$ 内の高次元頂点へエッジを優先的に獲得することで、密集した部分グラフの形成を防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メイカーが $K_n$ 上の(1:b)メイカー・ブレーィャー・ゲームにおいて、$\Delta(H) \leq D$ を満たすすべての $H$ を含むスパンニンググラフを保証できる最大バイアス $b$ は何か？
• RQ2 メイカーの戦略を、最大次数が有界で、かつ低下度が $(D-1)/2$ 以下のグラフ $H$ に拡張できるか？
• RQ3 $K_3$-ファクターや $K_4$-ファクターゲームにおいて、バイアス閾値 $b = \Omega((n/\log n)^{1/D})$ が漸近的に対数要因を除いてタイトか？
• RQ4 ブレーィャーが $b \gg n^{1/3}$ のとき、メイカーが $K_4$-ファクターを形成できないように妨げられるか？もし可能なら、その方法は？
• RQ5 ランダムグラフのグローバルレジリエンスは、バイアス閾値付近で決定的メイカー戦略の存在をどのように支援するか？

主な発見

• 任意の $D \geq 2$ に対して、ある $c > 0$ が存在し、$b \leq c(n/\log n)^{1/D}$ のとき、メイカーは $v(H) \leq n$ かつ $\Delta(H) \leq D$ を満たすすべての $H$ を含むグラフを保証できる。
• 同じバイアス条件下で、$\Delta(H) \leq D$ かつ低下度が $(D-1)/2$ 以下のすべてのグラフ $H$ を含むことも保証できる。
• $K_3$-ファクターゲームでは、バイアス閾値 $b = \Omega((n/\log n)^{1/D})$ が対数要因を除いてタイトであり、$b \gg n^{1/2}$ のときブレーィャーはメイカーが $K_3$-ファクターを形成できないようにできる。
• $K_4$-ファクターゲームでは、固定頂点 $v_0$ を含む $K_4$-ファクターをブレーィャーが $b \gg n^{1/3}$ のとき阻止できる。その戦略は $v_0$ の次数を制限し、近傍に三角形を形成させない。
• $K_4$-ファクターゲームの戦略では、バイアスが最大 $8n^{1/3}$ に抑えられ、$b \gg n^{1/3}$ のときメイカーは $K_4$-ファクターゲームに勝てないことが示された。
• この結果は鋭いものであり、$H$ が $n/3$ 個の頂点を共有しない三角形、または $n/4$ 個の頂点を共有しない $K_4$ のコピーからなる場合、バイアス閾値はそれぞれ $\Theta(n^{1/2})$ および $\Theta(n^{1/3})$ であり、上界と対数要因を除いて一致する。