[論文レビュー] Making the PT symmetry unbreakable

Vitaly Lutsky, Eitam Luz+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 68被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形および非線形系の両方においてPT対称性を安定化するメカニズムを提案し、任意に大きな増幅・損失係数においても破れないPT対称性を実現する。波長未満の波導（マクスウェル方程式）と半径方向に増大する非線形性を有する非線形自己拡散化を活用することで、1次元および2次元のソリトン解において完全な安定性を達成し、正確な解析解と数値的安定性確認を介して、閉じた2次元幾何構造内では無限大の増幅・損失強度まで安定性が保証される。

ABSTRACT

It is well known that typical PT-symmetric systems suffer symmetry breaking when the strength of the gain-loss terms exceeds a certain critical value. We present a summary of recently published and newly produced results which demonstrate various possibilities of extending the PT symmetry to arbitrarily large values of the gain-loss coefficient. First, we recapitulate the analysis which demonstrates a possibility of the restoration of the PT symmetry and, moreover, complete avoidance of the breaking in a photonic waveguide of a subwavelength width. The analysis is based on the Maxwell's equations, instead of the usual paraxial approximation. Next, we review a recently proposed possibility to construct stable one-dimensional (1D) PT-symmetric solitons in a paraxial model with arbitrarily large values of the gain-loss coefficient, provided that the self-trapping of the solitons is induced by self-defocusing cubic nonlinearity, whose local strength grows sufficiently fast from the center to periphery. The model admits a particular analytical solution for the fundamental soliton, and provides full stability for families of fundamental and dipole solitons. Finally, we report new results for unbreakable PT-symmetric solitons in 2D extensions of the 1D model: one with a quasi-1D modulation profile of the local gain-loss coefficient, and another with the fully-2D modulation. These settings admit particular analytical solutions for 2D solitons, while generic soliton families are found in a numerical form. The quasi-1D modulation profile gives rise to a stable family of single-peak 2D solitons. The soliton stability in the full 2D model is possible if the local gain-loss term is subject to spatial confinement.

研究の動機と目的

• PT対称系の根本的限界、すなわち臨界的な増幅・損失閾値に達すると対称性が破れるという問題を克服すること。
• 深く波長未満の波導構造を用いることで、線形系においてもPT対称性を無期限に安定化できることを示すこと。
• 自己拡散化非線形性による自己閉じ込めを用いて、任意に大きな増幅・損失係数を持つ1次元および2次元のPT対称ソリトンを構築すること。
• 線形モデルを超えて、非線形的・非ヒルベルト型系におけるPT対称性の概念を拡張すること、ここで対称性は本質的に非線形的である。
• 空間的閉じ込めと変調プロファイルが、2次元PT対称系における安定なマルチピークソリトン解の実現に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 部分的近似を用いない、完全なマクスウェル方程式を用いて、波長未満の波導チャネルをモデル化し、深く波長未満の領域におけるPT対称性の正確な解析を可能にする。
• 中心から外縁に向かって強度が増大する半径方向の自己拡散化三次非線形性を持つ1次元非線形シュレーディンガー方程式の開発により、臨界閾値なしにソリトンの自己閉じ込めを実現する。
• 1次元モデルにおける基本ソリトンの正確な解析解の導出により、基本ソリトンおよびデュアールソリトン族の完全な安定性を保証する。
• 1次元モデルを2次元に拡張するため、2種類の異なる増幅・損失変調プロファイルを用いる：準1次元（1軸に沿って）および完全2次元（両方向に空間的に変化する）。
• 2次元モデルにおけるソリトン族の数値的シミュレーションを実施し、固有モード解析とパワーの時間発展を用いて安定性を評価する。
• 完全2次元モデルにおける増幅・損失項に空間的閉じ込めを適用することで不安定性を防止し、安定なマルチピークソリトンの実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に大きな増幅・損失係数において、線形系においてもPT対称性を完全に安定化させることは可能か？ もしそうなら、どのような物理的条件下で可能か？
• RQ2 任意に大きな増幅・損失係数を持つ非線形系において、安定な1次元PT対称ソリトンを構築することは可能か？ どのような非線形性プロファイルがこれを可能にするか？
• RQ3 増幅・損失係数の異なる空間的変調プロファイル（準1次元対完全2次元）が、2次元PT対称ソリトンの安定性および構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 4ピーク構成のようなマルチピークソリトンは、2次元PT対称系で安定化可能か？ どのような条件下で可能か？
• RQ5 システムが非線形化不能な場合でも、非線形性がPT対称性の安定化に有効に機能するか？ そして、これはPT対称性の概念をどのように再定義するか？

主な発見

• マクスウェル方程式でモデル化された波長未満の波導チャネルでは、PT対称性は完全に破れない。臨界遷移は観測されない。
• 中心から外縁に向かって強度が増大する自己拡散化非線形性を持つ1次元モデルでは、基本ソリトンの正確な解析解が得られ、増幅・損失係数にかかわらず、基本ソリトンおよびデュアールソリトン族が完全に安定である。
• 2次元準1次元モデルでは、任意に大きな増幅・損失係数においても、単一ピークソリトン族が安定に存在するが、2ピークソリトンは不安定である。
• 完全2次元モデルでは、増幅・損失項が空間的に閉じ込められている場合にのみソリトンの安定性が達成され、Γ = 0.5における数値的シミュレーションで安定な4ピークソリトンが観測された。
• 完全2次元モデルの安定性チャートは、増幅・損失係数に上限がないことを示しており、この設定において破れないPT対称性が可能であることを示唆する。
• 式(13)におけるσ = 1および式(15)におけるΓ ≥ 0.2のモデルは、|x|,|y| ≤ 9の有限領域内で安定なソリトンを支持しており、安定性が有界系においても達成可能であることを確認する。