[論文レビュー] Malliavin calculus and ergodic properties of highly degenerate 2D stochastic Navier--Stokes equation

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly+1 more|ArXiv.org|Sep 3, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非退化な4次元ホワイトノイズによって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解の有限次元射影に対して、滑らかで正の密度が存在することを確立し、系が一意な不変測度をもつエルゴード的であることを証明する。マリヤン・カレンスキー計算と新規の漸近的強いフィラー性質を用いて、最小限のノイズ仮定のもとで、ヒルムラー型の超局所性理論を無限次元SPDEへと拡張する。

ABSTRACT

The objective of this note is to present the results from the two recent papers. We study the Navier--Stokes equation on the two--dimensional torus when forced by a finite dimensional white Gaussian noise. We give conditions under which both the law of the solution at any time t>0, projected on a finite dimensional subspace, has a smooth density with respect to Lebesgue measure and the solution itself is ergodic. In particular, our results hold for specific choices of four dimensional white Gaussian noise. Under additional assumptions, we show that the preceding density is everywhere strictly positive.

研究の動機と目的

• 非退化なノイズのもとで、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解の有限次元射影に対して、滑らかなリーマン測度に関する密度の存在を確立すること。
• 最小限のノイズ条件のもとで、解過程がエルゴード的であり、一意な不変測度をもつことを証明すること。
• マリヤン・カレンスキー計算を用いて、ヒルムラー型の超局所性理論を無限次元SPDEへと拡張すること。
• 漸近的強いフィラー性質に基づく新しい枠組みを構築し、非退化なSPDEにおけるエルゴード性の証明を行うこと。
• 不変測度が一意的であり、ノイズに関する鋭い条件のもとで系が指数的混合を示すことを示すこと。

提案手法

• 解の遷移核が有限次元部分空間上で$C^\infty$密度をもつことを、マリヤン・カレンスキー計算を用いて証明する。
• マコフ過程における強いフィラー条件の一般化として、漸近的強いフィラー性質を導入する。
• マリヤン・カレンスキー枠組みにおける近似された部分積分公式を用いて、漸近的強いフィラー性質を検証する。
• 必要な部分積分を達成するために、非マルコフ的かつ非適応的過程$v_t$を構成し、漸近的強いフィラー性質の証明を可能にする。
• 滑らかな密度の結果と漸近的強いフィラー性質を組み合わせることで、不変測度の一意性を確立する。
• 4次元の加法的ノイズを用いた2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解の有限次元射影が、滑らかなリーマン測度に関する密度をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 解過程はいつエルゴード的であり、不変測度の一意性はどのような条件下で成立するか？
• RQ3 漸近的強いフィラー性質を用いて、最小限のノイズをもつ非退化なSPDEのエルゴード性を証明できるか？
• RQ4 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式において、超局所性とエルゴード性を達成するために必要な最小のノイズ次元は何か？
• RQ5 マリヤン・カレンスキー計算をどのように変更すれば、非楕円的かつ非退化なノイズをもつ無限次元SPDEにおけるエルゴード性を証明できるか？

主な発見

• 任意の時刻$t > 0$における解の法則は、任意の有限次元部分空間への射影に関して、リーマン測度について$C^\infty$密度をもつ。
• 追加の仮定のもとで、この密度は有限次元部分空間上で至るところ正である。
• ノイズが4次元であり、指定された条件を満たす限り、解過程はエルゴード的であり、一意な不変測度をもつ。
• 漸近的強いフィラー性質は、任意の不可約かつ漸近的に強いフィラー性質をもつマコフ過程が、高々1つの不変測度しか持たないことを示唆する。
• この枠組みは、加法的かつ非退化なノイズをもつ非線形SPDEにおけるエルゴード性の証明の一般的手法を提供する。
• 著者らの関連研究で示されたように、開発された道具を用いて、系の指数的混合を確立できる。