[論文レビュー] Malliavin-Skorohod calculus and Paley-Wiener integral for covariance singular processes

Ida Kruk, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、特異な共分散を持つガウス過程のための内在的マルヤミン＝スコロフ微積分枠組みを構築し、経路に二次変動が存在しない場合でさえ、ペーレイ＝ウィーナー積分と伊藤型の公式を可能にする。正則化を用いて対称的ストラトノビッチ積分を定義し、最小限の正則性仮定の下で新たな伊藤公式を証明する。特に、定常増分および有界変動の分散関数を持つ過程に対して有効である。

ABSTRACT

We develop a stochastic analysis for a Gaussian process $X$ with singular covariance by an intrinsic procedure focusing on several examples such as covariance measure structure processes, bifractional Brownian motion, processes with stationary increments. We introduce some new spaces associated with the self-reproducing kernel space and we define the Paley-Wiener integral of first and second order even when $X$ is only a square integrable process continuous in $L^2$. If $X$ has stationary increments, we provide necessary and sufficient conditions so that its paths belong to the self-reproducing kernel space. We develop Skorohod calculus and its relation with symmetric-Stratonovich type integrals and two types of Itô's formula. One of Skorohod type, which works under very general (even very singular) conditions for the covariance; the second one of symmetric-Stratonovich type, which works, when the covariance is at least as regular as the one of a fractional Brownian motion of Hurst index equal to $H = \frac{1}{4}$.

研究の動機と目的

• 特異な共分散を持つガウス過程のための確率的微積分を構築すること。特に、二次変動を許容しない過程を含む。
• 二乗可積分で連続なL²における過程に対して、第一および第二のペーレイ＝ウィーナー積分を定義すること。
• 増分が定常である場合に、経路が自己再生核空間に属するための必要十分条件を確立すること。
• 正則化を用いて対称的ストラトノビッチ積分を定義し、それに対応する伊藤公式を導出すること。
• バイフラクタル・ブラウン運動や共分散測度過程を含む、極めて特異な共分散構造へのスコロフ微積分の拡張すること。

提案手法

• 自己再生核空間に関連する新しいヒルベルト空間 $ L_R $ を導入し、スコロフ積分の定義域を定義する。
• 正則化技術を用いて、導関数 $ D_rY_t $ を含む平均化積分の極限として、対称的ストラトノビッチ積分 $ d^0X $ を定義する。
• 対称的トレース $ Tr^0DY $ の概念を用い、平均化カーネルを含む極限を介して、スコロフ積分と対称積分を関連付ける。
• 分散関数 $ \gamma(t) = \mathrm{Var}(X_t) $ を含む補正項を組み合わせた新しい伊藤公式を導出する。これは、有界変動および正則性条件のもとで成立する。
• 主な例（増分が定常である過程、バイフラクタル・ブラウン運動、カーネルに基づくガウス過程）において仮定を検証する。
• 発散作用素 $ \delta $ を含むマルヤミン微積分の道具を用い、$ Y = g(X) $ が $ \mathbb{D}^{1,2}(L_R) $ に属するための可積分性条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分が定常であるガウス過程が、自己再生核空間の経路を持つための条件は何か？
• RQ2 非半マルティンゲール過程に対して、対称的ストラトノビッチ積分をどのように定義し、スコロフ積分と関連づけることができるか？
• RQ3 積分器が特異な共分散を持ち、二次変動が存在しない場合、正しい伊藤公式の形は何か？
• RQ4 古典的定義域を超えて、第二のペーレイ＝ウィーナー積分を第二の過程へ拡張できるか？
• RQ5 対称的トレースおよび伊藤公式の正当性を保証するための、分散関数 $ \gamma(t) $ の最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• 本稿は、新たな伊藤公式を確立した：$ \int_0^t g(X) d^0X = \int_0^t g(X) \delta X + \frac{1}{2} \int_0^t g'(X_s) d\gamma_s $、$ g \in C^3_b(\mathbb{R}) $ に対して、$ \gamma $ が有界変動であり、条件 (13.10) を満たす場合に有効である。
• 同じ条件下で、対称的トレース $ Tr^0DY $ が $ \frac{1}{2} \int_0\tau g'(X_s) d\gamma_s $ にほとんど確実に収束することが示され、伊藤公式における補正項の実現が可能になる。
• 増分が定常である過程に対しては、条件 (13.10) が自動的に満たされるため、伊藤公式の適用が簡略化される。
• バイフラクタル・ブラウン運動や共分散測度構造を含む、複数の例において、空間 $ L_R $ が明示的に特徴付けられる。
• 本稿は、補助的仮定 (6.35) の下で、$ X $ 自身が発散作用素の古典的定義域に属することを証明し、より広いクラスへの適用可能性を拡張する。
• 正則化に基づく対称積分 $ d^0X $ が、ストラトノビッチ型伊藤公式を満たすことが示された：$ f(X_t) = f(X_0) + \int_0^t f'(X_s) d^0X_s $、$ f \in C^\infty_b(\mathbb{R}) $ に対して。