[論文レビュー] Malliavin-Stein method for Variance-Gamma approximation on Wiener space

Peter Eichelsbacher, Christoph Thäle|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ウィーナー空間上でのバリアンス・ガンマ近似に対するマリヤンヴィン＝シュタイン法を展開し、マリヤンヴィン微積分とシュタインの方法を組み合わせることで、混沌とした確率的変数がバリアンス・ガンマ分布に収束する際の明示的なバウンドを導出する。主な結果は6次のモーメント定理である：第二ウィーナー混沌に属する列がバリアンス・ガンマ分布に収束するための必要十分条件は、その最初の6次のモーメントが目的とする分布のそれらに収束することである。

ABSTRACT

We combine Malliavin calculus with Stein's method to derive bounds for the Variance-Gamma approximation of functionals of isonormal Gaussian processes, in particular of random variables living inside a fixed Wiener chaos induced by such a process. The bounds are presented in terms of Malliavin operators and norms of contractions. We show that a sequence of distributions of random variables in the second Wiener chaos converges to a Variance-Gamma distribution if and only if their moments of order two to six converge to that of a Variance-Gamma distributed random variable (six moment theorem). Moreover, simplified versions for Laplace or symmetrized Gamma distributions are presented. Also multivariate extensions and a universality result for homogeneous sums are considered.

研究の動機と目的

• ガウス分布およびガンマ分布への近似にとどまらず、より広範なバリアンス・ガンマ分布のクラスへとマリヤンヴィン＝シュタイン法を拡張すること。
• 固定されたウィーナー混沌内の確率的変数がバリアンス・ガンマ分布に収束する際の定量的バウンドを確立すること。
• 収束が6次のモーメントの収束によって特徴づけられる、バリアンス・ガンマ分布への分布収束を特定する6次モーメント定理を証明すること。
• 多次元設定への一般化を行い、バリアンス・ガンマ近似の文脈における同次和の普遍性結果を確立すること。

提案手法

• マリヤンヴィン微積分とシュタインの方法を組み合わせ、混沌とした関数的変数とバリアンス・ガンマ分布との距離のバウンドを導出する。
• マリヤンヴィン作用素および縮約のノルムを用いて、収束速度をモーメントおよびコマリヤントの項で表現する。
• 滑らかなテスト関数を用いて、非対称なバリアンス・ガンマ分布に対する部分積分公式およびシュタイン方程式の解を適用する。
• ウィーナー混沌の構造と等ノルムガウス過程を用いて、第二混沌以降の収束を分析する。
• マリヤンヴィンノルムおよび二乗成分の共分散に関連する $ A_n(j) $ および $ B_n(i,j) $ のような項を含むバウンドを導出する。
• ウィーナー混沌成分の強い漸近的独立性を活用し、モーメントおよび共分散条件の下で同時収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二ウィーナー混沌に属する確率的変数の列が、分布収束するための条件は何か？
• RQ2 マリヤンヴィン微積分とシュタインの方法を用いて、バリアンス・ガンマ分布をターゲットとする場合に、近似誤差の明示的バウンドを導出可能か？
• RQ3 ガウス分布極限における4次モーメント定理と類似する、バリアンス・ガンマ近似のための6次モーメント定理は存在するか？
• RQ4 同次和の収束特性は、バリアンス・ガンマ近似の文脈でどのように振る舞うか？
• RQ5 多次元収束において、モーメント収束と相関成分の共分散の減少は、混沌としたベクトルが多次元バリアンス・ガンマ分布に収束する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 第二ウィーナー混沌に属する確率的変数の列がバリアンス・ガンマ分布に分布収束するための必要十分条件は、その2次から6次までのモーメントが、ターゲットとなるバリアンス・ガンマ分布のそれらに収束することである。
• マリヤンヴィン作用素および縮約を用いて、混沌とした確率的変数とバリアンス・ガンマ分布との間の全変動距離に対する定量的バウンドを確立した。
• バリアンス・ガンマ分布に収束する列に対しては、収束速度が3次および4次コマリヤントの絶対値の最大値によって支配され、分布パラメータに依存する明示的な定数を伴う。
• ラプラス分布や対称化されたガンマ分布などの特殊ケースに対して、簡略化されたバウンドを導出した。
• 多次元への拡張を提供し、成分ごとの収束および二乗成分の間の共分散の消滅が、多次元バリアンス・ガンマ分布への同時収束を示すことを示した。
• 同次和に対して普遍性結果を確立し、分布に依存しない収束がモーメント条件のもとで成立することを示した。