[論文レビュー] Malnormality and join-free subgroups in right-angled Coxeter groups

Hung Cong Tran|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一端の右回転コクセター群のすべての有限生成されたmalnormal部分群が強く擬凸であることを確立しており、無限大の真部分群はジョイン自由かつ virtually free である。主な結果は、malnormal性が強擬凸性を示すことを証明し、右回転アーティン群から右回転コクセター群のより広いクラスへ既知の結果を拡張する。また、定義グラフを用いたほぼmalnormalなパラボリック部分群の特徴付けも提供する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that all finitely generated malnormal subgroups of one-ended right-angled Coxeter groups are strongly quasiconvex and they are in particular quasiconvex when the ambient groups are hyperbolic. The key idea is to prove all infinite proper malnormal subgroups of one-ended right-angled Coxeter groups are join-free and then prove the strong quasiconvexity and the virtual freeness of these subgroups. We also study the subgroup divergence of join-free subgroups in right-angled Coxeter groups and compare them with the analogous subgroups in right-angled Artin groups. We characterize almost malnormal parabolic subgroups in terms of their defining graphs and also recognize them as strongly quasiconvex subgroups by the recent work of Genevois and Russell-Spriano-Tran. Finally, we discuss some results on hyperbolically embedded subgroups in right-angled Coxeter groups.

研究の動機と目的

• 右回転コクセター群におけるmalnormal部分群の幾何学的および代数的性質を調査すること。
• 右回転アーティン群から既知の結果（有限高さが強擬凸性を意味する）を右回転コクセター群へ拡張すること。
• 定義グラフを用いてほぼmalnormalなパラボリック部分群を特徴付け、それらの強擬凸性を確立すること。
• ジョイン自由部分群の部分群発散性を調査し、右回転アーティン群における類似部分群と比較すること。
• 右回転コクセター群における双曲的埋め込み部分群の構造と性質を調査すること。

提案手法

• 一端の右回転コクセター群における無限大の真部分群のmalnormal性を、その共役性および交差性の分析により、ジョイン自由であることを証明する。
• malnormal部分群のジョイン自由性を活用し、擬地図線および近傍包含の幾何的議論により強擬凸性を確立する。
• Genevois や Russell-Spriano-Tran の最近の結果を活用し、ほぼmalnormalなパラボリック部分群を強擬凸部分群として同定する。
• 有限高さの概念を用い、共役の交差を分析することで、部分群の構造的制約を導出する。
• グラフ論的および幾何的技法を用いて、右回転コクセター群における部分群発散性を右回転アーティン群におけるものと比較する。
• 定義グラフ Γ の構造を用いて、malnormalおよびパラボリック部分群とその性質を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一端の右回転コクセター群のすべての有限生成malnormal部分群は強く擬凸であるか？
• RQ2 右回転コクセター群において、有限高さの性質が右回転アーティン群と同様に強擬凸性を導くことができるか？
• RQ3 ほぼmalnormalなパラボリック部分群は、その定義グラフを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ4 右回転コクセター群におけるジョイン自由部分群の部分群発散性は、右回転アーティン群におけるものとどのように比較できるか？
• RQ5 右回転コクセター群における双曲的埋め込み部分群は、右回転アーティン群におけるものと類似した性質を示すか？

主な発見

• 一端の右回転コクセター群のすべての有限生成malnormal部分群は強く擬凸である。
• このような群における無限大の真部分群のmalnormal性はジョイン自由である。つまり、無限大の位数の元がジョイン部分群へ共役されない。
• このような無限大の真部分群は virtually free であるため、安定であり、したがって双曲的である。
• 右回転コクセター群におけるほぼmalnormalなパラボリック部分群は、その定義グラフによって特徴付けられ、強く擬凸である。
• 右回転コクセター群におけるジョイン自由部分群の部分群発散性は、右回転アーティン群におけるものと同等であり、類似した幾何的挙動を示す。
• 証明技法は、malnormal部分群の共役の有限交差が有限であることを示すことに依存しており、これは擬地図線の近傍制御を介して強擬凸性を示す。