[論文レビュー] Manifestly covariant canonical quantization I: the free scalar field

T. A. Larsson|ArXiv.org|Nov 2, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、観測者の軌道を動的な量子場として取り扱うことで、量子場理論に対する明示的に共変な正準量子化フレームワークを提案する。歴史位相空間形式を用い、Koszul-Tateコホモロジーを導入し、観測者の世界線の周りで場をテイラー展開することで、古典的極限において自由スカラー場の標準的結果が回復される一方で、3次元時空における特定のフェルミオン・ボソン数の対応関係と関連した、観測者の軌道に起因する新しい量子異常が明らかになる。

ABSTRACT

Classical physics is reformulated as a constrained Hamiltonian system in the history phase space. Dynamics, i.e. the Euler-Lagrange equations, play the role of first-class constraints. This allows us to apply standard methods from the theory of constrained Hamiltonian systems, e.g. Dirac brackets and cohomological methods. In analogy with BRST quantization, we quantize in the history phase space first and impose dynamics afterwards. To obtain a truly covariant formulation, all fields must be expanded in a Taylor series around the observer's trajectory, which acquires the status of a quantized physical field. The formalism is applied to the harmonic oscillator and to the free scalar field. Standard results are recovered, but only in the approximation that the observer's trajectory is treated as a classical curve.

研究の動機と目的

• 時空対称性を保ちながら、量子場理論に対する明示的に共変なハミルトニアン形式を構築すること。
• 正準量子化（根本的だが共変でない）と経路積分量子化（共変だが根本的でない）の間の矛盾を解消すること。
• 観測者の軌道を古典的バックグラウンドではなく、物理的量子場として取り扱うこと。
• 観測者の運動が古典的極限において標準的結果に還元される一貫した量子化手順を導出すること。
• 特にゲージ対称性と時空次元の観点から、観測者の量子的性質に起因する新しい量子異常を同定すること。

提案手法

• 力学（オイラー＝ラグランジュ方程式）を第一級の制約として作用させる歴史位相空間における制約付きハミルトニアン系に古典的物理学を再定式化する。
• 歴史と反場に対応する正準運動量を含む拡張位相空間を構築し、正準量子化に適したポアソン括弧の構造を確立する。
• 拡張位相空間におけるKoszul-Tate解体を用いて、物理的位相空間をコホモロジー類として記述する。
• すべての場および反場を観測者の量子的軌道の周りでテイラー級数に展開し、観測者を世界線に従う動的な場として昇格させる。
• ハミルトニアンを観測者に対する相対的平行移動の生成子として定義し、明示的な共変性を保証する。
• コホモロジー的手法を用いて物理的状態を射影し、ハミルトニアンが制約演算子と可換であることを保証することで、ユニタリティと有界性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測者の軌道を古典的バックグラウンドではなく、動的な量子場として取り扱うことで、明示的に共変な正準量子化を構築できるか？
• RQ2 観測者が根本的に量子的であるにもかかわらず、観測者の速度が古典的である極限において、標準的自由スカラー場理論がどのように再生されるか？
• RQ3 観測者の軌道が量子場であるという事実が、ヒルベルト空間の構造およびエネルギー固有状態のスペクトルに与える影響は何か？
• RQ4 再パrametrization代数における全中心的荷重がなぜ3次元で安定化するのか、そしてこれは時空次元にどのような意味を持つのか？
• RQ5 観測者の量子的軌道に起因する新しい量子異常は何か？それらは場理論における標準的異常とどのように異なるか？

主な発見

• 物理的位相空間は、拡張歴史位相空間におけるKoszul-Tate作用素のコホモロジーとして特定され、力学的ダイナミクスが第一級の制約として符号化される。
• 3次元では、再パラメータ化代数における全中心的荷重が、1つの場あたりのフェルミオン成分がボソン成分の2倍である場合にのみ、有限で非ゼロの値に安定化する。
• 平面波のエネルギーは、その運動量を観測者の速度に射影することで与えられ、観測者がマクロな重ね合わせ状態にない限り、これは量子演算子となる。
• 観測者の軌道を古典的とみなす極限において、この形式は自由スカラー場の標準的結果を再現するため、適切な極限で妥当性が裏付けられる。
• ゲージ理論において、観測者の軌道に機能的に依存する新しい異常が現れ、これは観測者の速度と場の微分を含む修正された電流代数拡張として現れる。
• p→∞極限において有限で非ゼロの中心的荷重が得られるという要請が、特定のフェルミオン・ボソン成分比を伴う3次元時空を一意に選択する。これは、時空次元の動的起源を示唆する。