[論文レビュー] Manifold interpolation and model reduction

Ralf Zimmermann|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 89被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、グラスマン、スタイーベル、および対称正定値（SPD）多様体上で行列多様体の補間を用いたパrametricモデル低次元化の包括的フレームワークを提示する。リーマン幾何学的技術——例えば測地線補間やテイラー型外挿——を用いて、構造を保ちながらパrametricな低次元モデルを構築する。モデル次数低次元化の応用における数値実装のための効率的アルゴリズムと理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

One approach to parametric and adaptive model reduction is via the interpolation of orthogonal bases, subspaces or positive definite system matrices. In all these cases, the sampled inputs stem from matrix sets that feature a geometric structure and thus form so-called matrix manifolds. This work will be featured as a chapter in the upcoming Handbook on Model Order Reduction (P. Benner, S. Grivet-Talocia, A. Quarteroni, G. Rozza, W.H.A. Schilders, L.M. Silveira, eds, to appear on DE GRUYTER) and reviews the numerical treatment of the most important matrix manifolds that arise in the context of model reduction. Moreover, the principal approaches to data interpolation and Taylor-like extrapolation on matrix manifolds are outlined and complemented by algorithms in pseudo-code.

研究の動機と目的

• パrametricモデル低次元化に現れる主要な行列多様体に対する体系的な数値的取り扱いを提供すること。
• パrameter間で部分空間、正規直交基底、正定値システム行列の構造を保つ補間を可能にすること。
• 行列多様体に基づくモデル低次元化に初めて取り組む研究者や実務家向けの参考ガイドとして、アルゴリズムと理論的背景を提供すること。
• カスタムのパrametricモデル低次元化手法の開発を支援するため、基盤的なツールと明確な数学的定式化を提供すること。

提案手法

• グラスマン、スタイーベル、SPD多様体などの行列多様体上で補間および外挿を定義するためにリーマン幾何学を用いる。
• 行列指数関数と対数関数を用いた測地線補間により、多様体上の部分空間または行列間の経路を計算する。
• 部分空間間の主角度および距離を計算するために特異値分解（SVD）と極分解を適用する。
• 主角度を用いてグラスマン多様体上のリーマン距離を導出する。その式は $ \|\Theta\|_2 $ で表され、$ \Theta $ は行列 $ U^T \tilde{U} $ の特異値を含む。
• 非可換生成子を伴う行列指数関数の合成を扱うために、ベーカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を用いる。
• SVDを用いてプロクラステス問題を解き、補間における基底の整合化に最適な直交変換を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列多様体上での幾何学的構造を保ちながら、パrameter間で正規直交部分空間または基底をどのように補間できるか？
• RQ2 グラスマン多様体における部分空間補間のための適切なリーマン計量と測地線経路は何か？
• RQ3 SPD多様体上でリーマン幾何学を用いて、正定値システム行列の構造を保つ補間をどのように達成できるか？
• RQ4 パrametricモデル低次元化における行列多様体上での効率的かつ安定した補間および外挿を実現する数値的アルゴリズムは何か？
• RQ5 部分空間間の主角度を用いて、グラスマン多様体上で意味のある距離測度を定義する方法は何か？

主な発見

• グラスマン多様体上のリーマン距離は $ \|\Theta\|_2 $ で与えられ、ここで $ \Theta $ は部分空間間の主角度を含む。これは行列 $ U^T \tilde{U} $ の特異値から導出される。
• グラスマン多様体上での測地線補間は、遷移行列の対数関数の行列指数関数を用いて実現され、最小路長と直交性の保持を保証する。
• スタイーベル多様体では、極分解と行列対数関数を用いて補間が行われ、測地線経路は反対称行列の接空間上の指数写像によって定義される。
• SPD多様体上の距離は行列対数関数を用いて定義され、測地線経路は $ \exp(\log(P_1)^{1/2} \exp(t \cdot \log(P_1)^{-1/2} \log(P_2) \log(P_1)^{-1/2}) \log(P_1)^{1/2}) $ で与えられ、正定値性が保証される。
• プロクラステス問題はSVDにより解かれる：最適な回転 $ R^* = UV^T $ は $ \|A - BR\|_F $ を最小化し、補間における最適な基底整合化を可能にする。
• 本稿では、グラスマン多様体上の任意の2点が、長さが $ \frac{\sqrt{r}}{2}\pi $ 未満の測地線で接続可能であることを確立しており、補間経路長に対する理論的上限を提供する。