[論文レビュー] Manifolds over Cayley-Dickson algebras and their immersions

S. V. Lüdkovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ケイリー＝ディクソン代数上の正則多様体を導入し、非可換代数（クaternion やオクタニオンを含む）への複素多様体理論の一般化を行う。射影技術と非可換幾何学を用いて、埋め込みおよび埋め込みのための条件を確立し、局所コンパクトな ${\cal A}_r$-正則多様体が ${\cal A}_r^{2m}$ に埋め込まれ、${\cal A}_r^{2m+1}$ に埋め込まれることを証明。さらに、可算なアトラスを持つ多様体に対して、$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$ への完全な正則埋め込みが存在することを示す。

ABSTRACT

Holomorphic manifolds over Cayley-Dickson algebras are defined and their embeddings and immersions are studied.

研究の動機と目的

• ケイリー＝ディクソン代数 ${\cal A}_r$ 上の正則多様体を定義し、それらを研究することで、非可換代数への複素多様体理論の拡張を図ること。
• このような多様体が高次元の ${\cal A}_r$-空間に埋め込まれる条件を確立すること。
• 射影および体積的議論を用いて、古典的埋め込み定理（例：ホイットニー）を非可換設定に一般化すること。
• 局所コンパクトな多様体に可算なアトラスを持つ場合、ヒルベルト空間 $l_2(\lambda, {\cal A}_r)$ への正則埋め込みの存在を証明すること。

提案手法

• ケイリー＝ディクソン代数 ${\cal A}_r$ 上の正則写像として定義される遷移写像を用いて、${\cal A}_r^m$ や $l_2(\lambda, {\cal A}_r)$ をモデルとする ${\cal A}_r$-正則多様体を定義する。
• ${\cal A}_r$-線形射影 $\pi_l: {\cal A}_r^N \to ({\cal A}_r^{N-1})_l$ を用いて、次第に余次元を減らし、微分の単射性を保証する。
• 射影が局所的に単射でない「第一種の禁断方向」と、単射性を失う「第二種の禁断方向」を、${{\cal A}_r}P^{N-1}$ 上のリーマン体積測度 $\mu$ を用いて分析する。
• モース理論を適用し、$N > 2m$ のとき $\mu(g(Q)) = 0$ および $N > 2m+1$ のとき $\mu(\psi(\Phi)) = 0$ を示し、良好な射影方向の存在を保証する。
• 非可換ストーン＝ヴァイエルシュトラス定理とコンパクト性を活用し、近似および埋め込み性質を確立する。
• 無限次元ヒルベルト空間の同型を用いて、$M$ を $l_2(\lambda, {\cal A}_r)$ に写像する正則関数族 $\psi_j$ を構成することで、グローバルな ${\cal A}_r$-正則埋め込みを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クaternion やオクタニオンを含む非可換ケイリー＝ディクソン代数上に正則多様体を定義することは可能か？
• RQ2 このような多様体が有限次元の ${\cal A}_r$-空間に埋め込まれる条件は何か？
• RQ3 局所コンパクトな ${\cal A}_r$-正則多様体（${\cal A}_r$次元 $m$）を埋め込むために必要な最小の余次元は何か？
• RQ4 射影が失敗する「禁断方向」が、埋め込みおよび埋め込みの存在に与える影響は何か？
• RQ5 可算なアトラスを持つ多様体に対して、無限次元の正則埋め込みを構成することは可能か？

主な発見

• 局所コンパクトな ${\cal A}_r$-正則多様体（${\cal A}_r$次元 $m$）は、$N > 2m$ のとき、第一種の禁断方向を避けることで ${\cal A}_r^{2m}$ に埋め込める。
• 同様に、$N > 2m+1$ のとき、第二種の禁断方向を避けることで、${\cal A}_r^{2m+1}$ に埋め込める。
• 第一種の禁断方向の集合は、${{\cal A}_r}P^{N-1}$ 上で測度ゼロであるため、適切な射影方向が存在することが保証される。
• 第二種の禁断方向の集合に対しても同様に測度ゼロであり、適切な平行移動を施すことで単射射影が可能となる。
• 局所コンパクトで可算なアトラスを持つ多様体に対して、ヒルベルト空間 $l_2(\lambda, {\cal A}_r)$ へのグローバルな ${\cal A}_r$-正則埋め込みが存在する。これは、無限次元ヒルベルト空間の同型および近似性質による。
• ${\cal A}_r$-正則多様体の接バンドル $TM$ は、${\cal A}_r$-正則構造を誘導し、その纤维は ${\cal A}_r$-ベクトル空間と同型である。