[論文レビュー] Manifolds with conullity at most two as graph manifolds

Luis A. Florit, Wolfgang Ziller|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、完全かつ有限体積のリーマン多様体で、曲率テンソルの核の次元が2以下（すなわち、曲率テンソルの核の次元 ≥ n−2）であるものが、常にねじれたシリンダー（積多様体 L²×ℝⁿ⁻² の離散等長群作用による商）に大域的に等長であることを確立している。これにより、それらが幾何的グラフ多様体として特徴づけられる。主な結果は、一般の場合に反例が存在するにもかかわらず、有限体積の場合にのみ、ノミズの予想が成立することを示しており、完全かつ有限体積な場合、その多様体は局所的に対称的であることを証明する。

ABSTRACT

We find necessary and sufficient conditions for a complete $n$-dimensional Riemannian manifold of finite volume, whose curvature tensor has nullity at least $n-2$, to be a geometric graph manifold. In the process, we show that Nomizu's conjecture, well known to be false in general, is true for manifolds with finite volume.

研究の動機と目的

• 完全かつ有限体積のリーマン多様体で、核の次元が2以下のものについて、それを幾何的グラフ多様体として特徴づけること。
• このような多様体が大域的にねじれたシリンダーに等長であるための必要十分条件を特定すること。
• 一般には成り立たないものの、有限体積設定においてノミズの予想を解決すること。すなわち、完全かつ有限体積なCN2多様体において、それが局所的に対称的であることを示すこと。

提案手法

• 曲率テンソル R の核分布 Γ を分析し、それが可積分的で、完全に測地的かつ局所的に平行なfoliationを定義することを示す。
• 完全なCN2多様体における非平坦点の有限体積な連結成分が、すべて大域的にねじれたシリンダー (L²×ℝⁿ⁻²)/G に等長であることを証明する。
• 境界核の葉（BNL）と局所的連結成分の構造を用いて、境界をなす平坦な超曲面が完全かつ完全に測地的であることを示す。
• スザボ（1991）の半対称空間に関する結果を応用し、有限体積なCN2多様体が局所的に対称的であることを導く。
• 平坦な境界成分が、有限体積かつ平坦であることから、コンパクトであることを示す。
• チューブ型近傍の議論と曲率の減衰を用いて、境界成分が局所的に積構造に似ており、したがって H×Fⁿ⁻² に等長であることを示す。ここで Fⁿ⁻² はコンパクトである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全かつ有限体積のリーマン多様体で、核の次元が2以下のものがあるとき、それがいつねじれたシリンダーに大域的に等長になるか。
• RQ2 完全で局所的に非可約な半対称空間は局所的に対称的である（ノミズの予想）—この予想は有限体積なCN2多様体において成り立つか。
• RQ3 有限体積なCN2多様体におけるねじれたシリンダーの境界成分が非コンパクトである可能性はあるか、それとも常にコンパクトでなければならないか。
• RQ4 非平坦点の局所的連結成分は平坦な超曲面の近くでどのように振る舞い、それは全体的な構造にどのような意味を持つのか。
• RQ5 境界核の葉（BNL）は、隣接するねじれたシリンダーの接合構造を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 完全なCN2多様体における有限体積な非平坦点の各連結成分は、すべて大域的にねじれたシリンダー (L²×ℝⁿ⁻²)/G に等長である。
• 各ねじれたシリンダーの境界は、完全で平坦で、完全に測地的かつ埋め込まれた超曲面の互いに交わらない直和である。
• 各境界成分は、有限体積の平坦多様体であるため、コンパクトである。
• 任意の境界点における局所的連結成分の数は正確に2つであり、これは明確な接合構造を示している。
• 境界成分は、測地的成分とコンパクトな平坦因子の積に局所的に等長であり、計量は C∞-近傍で積計量に近い。
• ノミズの予想は、有限体積なCN2多様体においては成り立つ。なぜなら、与えられた条件下でそれらは局所的に対称的であるからである。