[論文レビュー] Manifolds with infinite dimensional group of holomorphic automorphisms and the Linearization Problem

Frank Kutzschebauch|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特に無限次元の自己同型群をもつ複素多様体、たとえば$\mathbb{C}^n$を対象として、正則自己同型群の構造を調査する。密度および柔軟性の性質を導入・分析し、それらを幾何学的問題の解決に応用するとともに、正則線形化問題のための新しい基準を提示する。特定の商空間および同相群の条件下で、ストーン多様体上の$G$-作用が線形作用と正則同型であることを示している。

ABSTRACT

We overview a number of precise notions for a holomorphic automorphism group to be big together with their implications, in particular we give an exposition of the notions of flexibility and of density property. These studies have their origin in the famous result of Andersén and Lempert from 1992 proving that the overshears generate a dense subgroup in the holomorphic automorphism group of $\C^n, n\ge 2$. There are many applications to natural geometric questions in complex geometry, several of which we mention here. Also the Linearization Problem, well known since the 1950 s and considered by many authors, has had a strong influence on those studies. It asks whether a compact subgroup in the holomorphic automorphism group of $\C^n$ is necessarily conjugate to a group of linear automorphisms. Despite many positive results, the answer in this generality is negative as shown by Derksen and the author. We describe various developments around that problem.

研究の動機と目的

• 複素多様体、特に$\mathbb{C}^n$における正則自己同型群の構造とその大きさを理解すること。
• 密度および柔軟性の性質が、豊富な自己同型群をもつ複素多様体を特徴付ける役割を明らかにすること。
• 長年の正則線形化問題に取り組み、$\mathbb{C}^n$上の非線形群作用が線形作用と同型となる条件を同定すること。
• 分類的同型写像による商空間の正則同型性に基づいて、ストーン$G$-多様体が$G$-線形$G$-モジュールと$G$-正則同型である条件を新たに提示すること。
• $\mathbb{C}^n$がストーン多様体として自己同型群構造によって特徴付けられるための結果の意味を明らかにすること。

提案手法

• 本稿は、正則ベクトル場および自己同型の生成集合を用いて、密度性および柔軟性の性質を定義・分析する。
• 滑らかで完全な正則ベクトル場の時間1写像として得られるシアーおよびオーバーシアー自己同型を、$\mathbb{C}^n$の自己同型群の基本的構成要素として用いる。
• 群作用の幾何的構造を比較するために、$G$-多様体のカテゴリー的商$Q_X$と$Q_V$の間の階層的正則同型写像に依拠する。
• 同相群の余次元条件を満たす「大きな」$G$-代数的多様体の概念を導入し、局所的および大域的$G$-正則同型写像を保証する。
• ルーナのスライス定理とカテゴリー的商の理論、再帰的群作用の構造を組み合わせることで定理を証明する。
• 本手法はストーン多様体上の$G$-作用に適用され、このような作用が商空間の同型性によって線形化可能である条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群$G$のストーン多様体$X$への正則作用が、$G$-モジュール$V$への線形作用と正則同型であるための条件は何か？
• RQ2 ストーン多様体$X$の正則自己同型群が、$X$が$\mathbb{C}^n$と正則同型であることを特徴付けるために使用できるか？
• RQ3 自己同型群の密度および柔軟性の性質が、線形化問題およびアフィン空間の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 カテゴリー的商$Q_X \simeq Q_V$の階層的正則同型写像は、$X$と$V$の大域的$G$-正則同型写像とどのように関係するか？
• RQ5 与えられた再帰的群$G$の非線形化可能な正則作用が現れる最小次元は何か？

主な発見

• 本稿は、ストーン$G$-多様体$X$と$G$-モジュール$V$が、分類的商$Q_X \simeq Q_V$を階層的正則同型写像で結ぶ場合、かつ$V$が「大きな」性質を持つならば、$X$と$V$は$G$-正則同型であることを確立した。
• $SL_2(\mathbb{C})$-作用の場合は、$Q_X$と$Q_V$の間の階層的正則同型写像の存在が、$V$が「大きな」性質を満たさなくても、$X$が$SL_2(\mathbb{C})$-正則同型に$V$であることを示す。
• カテゴリー的商$Q_V$が1次元である場合、$Q_X$と$Q_V$の間の階層的正則同型写像が存在すれば、$X$は$G$-正則同型に$V$であることが示され、線形化のための新たな基準が得られた。
• これらの結果は、正則線形化問題が商空間の構造を介して取り組めることが示され、古典的手法を超えた新しい枠組みを提供する。
• コラス＝ラッセルの立方体3次曲面$M_{KR}$は、これらの基準では分析できない。これは、そのルーナ商が任意の線形作用のそれと同型でないためであり、$M_{KR}$が$\mathbb{C}^3$と正則同型であるか否かは未解決のまま残っている。
• 本稿は、位相を考慮しない自己同型群構造のみでは、現在のところストーン多様体の中で$\mathbb{C}^n$を特徴付けることはできないことを示している。