[論文レビュー] Manin problems for Shimura varieties of Hodge type

Adrian Vasiu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、正の特性の完備体上における志村 $p$-除的対象について上昇および下降の傾きフィルトレーションを確立し、これらの対象の有理的分類を可能にする。$p \geq 3$ または $p = 2$ の場合、やや弱い条件下で、Hodge型の志村多様体に対するManin問題を解き、クリスタリンおよびde Rham実現によるHodgeサイクルの整数的Manin問題を定式化し、解く。

ABSTRACT

Let k be a perfect field of characteristic p>0. We prove the existence of ascending and descending slope filtrations for Shimura p-divisible objects over k. We use them to classify rationally these objects over \bar k. Among geometric applications, we mention two. First we formulate Manin problems for Shimura varieties of Hodge type. We solve them if either p\Ge 3 or p=2 and two mild conditions hold. Second we formulate integral Manin problems. We solve them for certain Shimura varieties of PEL type.

研究の動機と目的

• 正の特性 $p > 0$ の完備体上における志村 $p$-除的対象の傾きフィルトレーション理論を構築すること。
• 新しく構築されたフィルトレーションを用いて、$\overline{k}$ 上でこれらの対象を有理的に分類すること。
• 特に $p \geq 3$ または $p = 2$ の場合、やや弱い条件下で、Hodge型志村多様体に対するManin問題を定式化し、解くこと。
• クリスタリンおよびde Rham実現によるHodgeサイクルを用いて、PEL型志村多様体に対する整数的Manin問題の枠組みを拡張すること。

提案手法

• 特徴が $p > 0$ である完備体 $k$ 上における志村 $p$-除的対象の上昇および下降の傾きフィルトレーションを、関連する $F$-等長体のニュートン多角形構造に基づいて構成する。
• フィルトレーションを用いて、$\overline{k}$ 上で追加構造を備えた $F$-等長体を有理的に分類し、$\gamma \mapsto 1 - \gamma$ におけるニュートン多角形の対称性を活用する。
• Hodge型志村多様体への理論の応用において、$p$-除的対象をHodgeサイクルを持つアーベル的モチーフのクリスタリン実現として実現する。
• $W(k)$-格子および $\mathbf{GSp}(M_0, \psi_0)$ のような群スケームを用いて、極化および自己準同型構造を制御するPEL型志村多様体のモジュライ的枠組みを用いる。
• Dieudonnéモジュール上の再帰的群スケームの作用を用い、$k$ から $W(k)$ への点の持ち上げを構成し、de RhamコホロロジーにおけるHodgeサイクルを実現する。
• Langlands–Rapoport予想および既知のモジュライ結果に依拠し、テンソル構造および極化データを保存する持ち上げの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の完備体上における志村 $p$-除的対象について、傾きフィルトレーションを構成できるか？
• RQ2 Hodge対称性条件 $\gamma \leftrightarrow 1 - \gamma$ を満たすすべてのニュートン多角形が、Hodge型志村多様体の文脈において $\overline{k}$ 上の $p$-除的対象から生じるか？
• RQ3 クリスタリンおよびde Rham実現によるHodgeサイクルを用いて、PEL型志村多様体に対する整数的Manin問題を定式化し、解くことができるか？
• RQ4 $k$ 上のHodge型のすべての $p$-除的対象が、$k$ 上の主極化アーベル多様体の $p$-除的群として実現可能か？
• RQ5 志村多様体の特異ファイバーの点が、Hodgeサイクル構造を保存する $W(k)$-値点に持ち上げられる条件は何か？

主な発見

• 志村 $p$-除的対象に上昇および下降の傾きフィルトレーションが存在することが確立され、分類のための構造的道具が得られた。
• $\overline{k}$ 上での志村 $p$-除的対象の有理的分類が、傾きフィルトレーションによって達成され、古典的なManin問題を一般化した。
• $p \geq 3$ の場合、および $p = 2$ の場合、やや弱い条件下で、Hodge型志村多様体に対するManin問題が解かれた。すべての許容可能なニュートン多角形がこのような対象から生じることが確認された。
• クリスタリンおよびde Rham実現によるHodgeサイクルを用いて、特定のPEL型志村多様体に対して整数的Manin問題が解かれた。$k$-点を $W(k)$-点に持ち上げる構成により、Hodgeサイクル実現が保存された。
• $k$ 上の高さ $n$、次元 $n - a$ のすべての $p$-除的群は、適切な群論的条件下で、PEL型志村多様体の $W(k)$-値点からの引き戻しとして得られる。
• 点の $k$ から $W(k)$ への持ち上げにおいて、Hodgeサイクルのクリスタリンおよびde Rham実現が整合的であることが示され、モジュライ的枠組みの整合性が保証された。