[論文レビュー] Manin triples and $N=2$ superconformal field theory

Ezra Getzler|ArXiv.org|Jul 6, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、補い合うアイソトロピック部分代数を備えたリー代数構造（Manin三つ組）を用いて、N=2超共形場理論の変形族を構成する。これは、Kazama-SuzukiモデルおよびG/Gモデルを一般化するものである。変形パラメータ α ∈ g₀ を導入することで、中心指数 d = ½dim g − (ρ, ρ) − (α, α) の公式を導出し、N=2超共形対称性がこの変形のもとでも保たれることを示す。具体的には、リーマン代数 g に倣った自由ボソン、フェルミオン、およびゲージ代数を用いて実現される。

ABSTRACT

This work was inspired by the article of Parkhomenko, who drew attention to the central role played in the work of Spindel, Sevrin, Troust and van Proyen, by Manin triples. These authors have shown how to associate to a Manin triple an $N=2$ superconformal field theory (the work of Kazama-Suzuki is a special case of their results). In this paper, we construct a deformation of their theory, with continuously varying central charge, analogous to the Fock representations of the Virasoro algebra with stress-energy tensor $-(ϕ')^2/2+αϕ''$.

研究の動機と目的

• Manin三つ組の枠組みを用いて、Kazama-SuzukiおよびG/GモデルのN=2超共形場理論を一般化すること。
• g₀ における要素 α ∈ g₀ によってパrameter化される、これらのモデルの連続的変形を構成すること。ここで g₀ は、[g₊,g₊] ⊕ [g₋,g₋] における直交補空間である。
• 変形理論がN=2超共形対称性（特にN=2代数の完全な演算子積展開）を保つことを証明すること。
• 単純リー代数 k とパラボリック部分代数 p のペア (k, p) から、N=2 SCFTを体系的に構成すること。ボレル部分代数および全代数の場合が、特別な例として含まれる。
• Manin三つ組の幾何的構造とN=2超共形チャイナル代数の代数的構造との間の関係を確立すること。これには、WZWモデルおよびカレント代数の役割が含まれる。

提案手法

• g が不変内積を持つ再帰的リー代数で、g₊, g₋ が補い合うアイソトロピック部分代数であるManin三つ組 (g, g₊, g₋) の数学的枠組みを用いる。
• 自由ボソンおよびフェルミオン場 φ, ψ を g 上にとり、演算子積展開（OPE）によってN=1超共形代数を定義するチャイナル代数を構成する。
• パラメータ α ∈ g₀ を用いた変形を導入し、ストレステンソル T およびスーパーカレント G±, J を変更することで、N=2対称性を保つ。
• 中心指数 d = ½dim g − (ρ, ρ) − (α, α) を導出し、ここで ρ はManin三つ組構造から導かれるWeylベクトルに類似した要素である。
• Borcherds-Jacobi恒等式およびOPEの操作技法を用い、Mathematicaパッケージを支援として、N=2代数的関係の検証を行う。
• カレント代数 Ii = Ji − ½cijkψjψk と関連するOPEを用いて、N=2超共形代数を構成し、N=2 OPE関係の下で閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数的構造を用いて、Kazama-Suzukiモデルの連続的変形を構成可能であり、N=2超共形対称性を保つことができるか？
• RQ2 変形パラメータ α およびManin三つ組の幾何的性質に依存する、変形N=2 SCFTの中心指数 d はどのように依存するか？
• RQ3 g₀ = ( [g₊,g₊] ⊕ [g₋,g₋] )⊥ の部分空間が、変形理論の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 パラボリック部分代数 p = b（ボレル）および p = k（全代数）の場合の (k,p) 構成は、Kazama-Suzuki や G/G モデルといった既知のN=2モデルとどのように関係するか？
• RQ5 不変内積を持つ再帰的リー代数 g 上のカレント代数から、N=2超共形代数を代数的に実現できるか？

主な発見

• 変形N=2超共形場理論は、リー代数 g とManin三つ組 (g, g₊, g₋) を用いて構成され、Kazama-SuzukiおよびG/Gモデルを一般化する。
• 変形モデルの中心指数は d = ½dim g − (ρ, ρ) − (α, α) で与えられ、ここで α ∈ g₀ は変形パラメータ、ρ はManin三つ組から導かれるWeylベクトルに類似した要素である。
• ボレル部分代数の場合（p = b）では、適切な α を選ぶことで任意の中心指数 d を実現可能であるが、p = k（G/Gモデル）の場合には d = dim k であり、α とは無関係に一定である。
• OPEの明示的計算により、T, G±, J およびカレント代数のOPEが確認され、変形理論においてN=2超共形対称性が保たれていることが裏付けられた。
• 自由ボソン Φ、フェルミオン Ψ、および複素ベクトル β を用いて、N=2チャイナル代数を実現し、T, G±, J の明示的表現をこれらの場の関数として与えた。
• この手法は、チャイナル代数およびOPE恒等式の代数的構造に依存しており、複雑なOPE展開を扱うためのMathematicaパッケージによる計算的検証が支援されている。