[論文レビュー] Mantel's Theorem for random graphs

Bobby DeMarco, Jeff Kahn|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、エドős–レニー確率的グラフ $ G(n,p) $ において、最大の三角形を含まない部分グラフがほとんど確実に二部グラフであるようになる閾値を確立する。確率的技法とカットの構造的解析を用いて、$ p > Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ で、十分に大きな定数 $ C $ をとると、$ G(n,p) $ の任意の最大三角形を含まない部分グラフがほとんど確実に二部グラフであることを証明する。この閾値は定数 $ C $ を除いて最適である。

ABSTRACT

For a graph $G$, denote by $t(G)$ (resp. $b(G)$) the maximum size of a triangle-free (resp. bipartite) subgraph of $G$. Of course $t(G) \geq b(G)$ for any $G$, and a classic result of Mantel from 1907 (the first case of Turán's Theorem) says that equality holds for complete graphs. A natural question, first considered by Babai, Simonovits and Spencer about 20 years ago is, when (i.e. for what $p=p(n)$) is the "Erdős-Rényi" random graph $G=G(n,p)$ likely to satisfy $t(G) = b(G)$? We show that this is true if $p>C n^{-1/2} \log^{1/2}n $ for a suitable constant $C$, which is best possible up to the value of $C$.

研究の動機と目的

• エドős–レニー確率的グラフ $ G(n,p) $ において、最大三角形を含まない部分グラフがほとんど確実に二部グラフであるようになる確率閾値 $ p(n) $ を特定すること。
• ババイ、シモノビッチ、スペンサーが提起した長年の未解決問題、すなわち $ p = n^{-c} $ で $ c > 0 $ が小さいとき $ t(G) = b(G) $ が成り立つかどうかを解明すること。
• 鋭い閾値 $ p = Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ を確立し、定数 $ C $ を除いてこれが最適であることを示し、この閾値ですべての最大三角形を含まない部分グラフが二部グラフであることを証明すること。
• より広範なツァラントの問題に一般化し、$ K_r $-自由部分グラフがランダムグラフで $ (r-1) $-部グラフであるようになる閾値に関する予想を提示すること。
• スパース正則性補題のような深い道具の必要性を検討し、代替的証明を模索すること。また、この問題をクライーク複体のホモロジーの消滅といった位相的性質と結びつけること。

提案手法

• グラフ $ G(n,p) $ のバランスの取れたカット $ (A,B) $ を分析し、反対側に次数が低い頂点に基づいて集合 $ X(\Pi) $ と $ T(\Pi) $ を定義する。
• Kohayakawa–Łuczak–Rödl の定理（定理 2.1）の変種を適用し、これは、辺数が半分に近い大きな三角形を含まない部分グラフは、$ \vartheta n^2p $ 条の辺を削除することで二部グラフにできると述べている。
• 確率的集中不等式を用いて、二部グラフでない三角形を含まない部分グラフの辺数を評価し、それらが最大サイズに達できないことを示す。
• 三角形と均等に交わる辺集合に基づく数え上げ的議論を用い、問題を第一ホモロジー群 $ H_1(X(G), \mathbb{Z}_2) $ の消滅と結びつける。これは、三角形を均等に交わる唯一の集合がカットであることを意味し、主結果を支持する。
• 確率 $ p > Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ に対して、最大三角形を含まない部分グラフが二部グラフでない確率が 0 に近づくことを、辺の露出と次数の集中を用いて示す。
• 非二部グラフの最大三角形を含まない部分グラフが存在すると仮定し、矛盾を導く。そのようなグラフは、三角形に属さない辺を多く含む必要があり、この $ p $ ではそれが起こりにくいため。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ p(n) $ に対して、$ t(G_{n,p}) = b(G_{n,p}) $ がほとんど確実に成り立つか？
• RQ2 定数 $ C $ を除いて、$ p = Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ が $ G(n,p) $ で $ t(G) = b(G) $ が成り立つための最適閾値であるか？
• RQ3 この結果を $ K_r $-自由部分グラフが $ (r-1) $-部グラフである場合に拡張できるか？ その場合の対応する閾値は何か？
• RQ4 スパース正則性補題（定理 2.1 を通じて）を用いることは、主結果の証明に不可欠か？ それとも回避可能か？
• RQ5 三角形を含まない部分グラフの構造と、$ G(n,p) $ のクライーク複体のホモロジーとの関係は何か？

主な発見

• 十分に大きな定数 $ C $ をとると、$ p > Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ に対して、$ G(n,p) $ の任意の最大三角形を含まない部分グラフがほとんど確実に二部グラフである。
• 閾値 $ p = Cn^{-1/2}\log^{1/2}n $ は、定数 $ C $ を除いて最適である。なぜなら、$ p = 0.1n^{-1/2}\log^{1/2}n $ のとき、$ G(n,p) $ は通常、どの三角形にも属さない 5-サイクルを含むからである。
• $ p \in [n^{-1}, 0.1n^{-1/2}\log^{1/2}n] $ の範囲では、$ t(G_{n,p}) = b(G_{n,p}) $ となる確率は 0 に近づくため、急激な遷移が生じている。
• この結果は、閾値より高い $ p $ では、構造的制約により、非二部グラフの三角形を含まない部分グラフが最大サイズに達できないことを示唆する。
• 最終的なバージョンではスパース正則性補題に依存しない証明が得られ、定理 2.1 の新しい、より単純な証明が現在利用可能である。
• 問題は位相的消滅と関連している：ほとんど確実に $ H_1(X(G), \mathbb{Z}_2) = 0 $ であり、これは三角形を均等に交わる唯一の辺集合がカットであることを意味し、主結果を支持する。