[論文レビュー] Many-body localization and new critical phenomena in regular random graphs and constrained Erdős-Renyi networks

В. А. Аветисов, A. Gorsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正則ランダムグラフ（RRG）および制約付きエドős-レニー・ネットワーク（CERN）における3サイクルに起因する構造的無秩序が、フォック空間における多体局在化転移を引き起こし、『無秩序のない局在化』を実現することを提案する。臨界化学ポテンシャルμを超えると、スペクトルは局在化領域と拡散領域に分かれ、その境界に移動性エッジが存在する。後者は共鳴する三重項（3サイクル）のクラスタに対応し、記憶依存統計を介して非エルゴード的拡散状態を示唆する。

ABSTRACT

We consider from the localization perspective the new critical phenomena discovered recently for perturbed random regular graphs (RRG) and constrained Erdős-Rényi networks (CERN) \cite{crit2}. At some critical value of the chemical potential of 3-cycles, $μ$, the network decays into the maximally possible number of almost full subgraphs, and the spectrum of the Laplacian matrix acquires the two-zonal structure with a large gap. We find that the Laplacian eigenvalue statistics corresponds to delocalized states in one zone, and to the localized states in the second one. We interpret this behavior in terms of the many-body localization problem where the structure of the Fock space of some interacting many-body system is approximated by the RGG and/or by the CERN. We associate 3-cycles in RRGs and CERNs as resonant triples in the Fock space. We show that the scenario of the "localization without disorder", discussed previously in physical space, can be realized in the Fock space as well. We argue that it is natural to identify clusters in a RRG with particles in a many-body system above the phase transition. We discuss the controversial issue of an additional phase transition between ergodic and non-ergodic regimes in the delocalized phase in the Fock space and find a strong "memory dependence" of the states in the delocalized phase, thus advocating existence of non-ergodic delocalized states.

研究の動機と目的

• 正則ランダムグラフ（RRG）およびCERNネットワークにおける3サイクルといった構造的特徴が、多体系のフォック空間における局在化をどのように引き起こすかを調査すること。
• 時間並進不変系において、自己組織的構造化によって『無秩序のない局在化』が出現するかどうかを検証すること。
• スペクトルにおいて拡散状態と局在状態の相を分ける移動性エッジが存在するかどうか、および拡散状態がエルゴード的か非エルゴード的かを特定すること。
• フォック空間における相互作用する多体状態のアナログとしての共鳴三重項（3サイクル）の役割を明らかにすること。
• レベル間隔統計と記憶依存性を用いて、非エルゴード的拡散状態の仮説の妥当性を評価すること。

提案手法

• 著者らは、頂点を基底状態、リンクを共鳴遷移として扱うことで、相互作用する多体系のフォック空間をRRGおよびCERNネットワークでモデル化する。
• 3サイクルに化学ポテンシャルμを導入し、ネットワークのトポロジーを制御することで、自己組織的構造的無秩序によるクラスタ形成を模擬する。
• ラプラシアン行列のスペクトル解析により、μ > μ_cr 時に大きなギャップを伴う二ゾーン構造が現れ、移動性エッジの存在を示す。
• レベル間隔統計を用いて状態を分類：拡散状態にはWigner-Dyson、局在状態にはPoissonを適用し、相転移境界の特定を可能にする。
• 隣接行列の構造の数値的可視化により、記憶依存性を示す非エルゴード的拡散状態の存在を裏付ける。
• 研究は、複数のレプリカ対称性の破れと固有値インスタントンとの類似性を示し、局在化転移の背後にあるモジュラー構造を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RRGおよびCERNネットワークにおける3サイクルの存在が、外部の無秩序がなくてもフォック空間における局在化転移を引き起こすか？
• RQ2 3サイクルに起因する構造的無秩序によって、スペクトルに拡散状態と局在状態を分ける移動性エッジが出現するか？
• RQ3 μ_crを超えた拡散状態はエルゴード的か非エルゴード的か。その分類を支持する証拠は何か？
• RQ4 ネットワーク内における共鳴三重項（3サイクル）は、フォック空間における相互作用する多体状態とどのように対応するか？
• RQ5 記憶依存性は拡散状態においてどのような役割を果たし、非エルゴード的拡散状態の存在を支持するか？

主な発見

• 3サイクルの臨界化学ポテンシャルμ_crを超えると、ラプラシアンスペクトルは二ゾーンに分裂し、Wigner-Dyson統計を示す拡散状態とPoisson統計を示す局在状態が、移動性エッジによって分離される。
• 局在状態は、最も密に接続された部分グラフのクラスタに対応し、対角的無秩序がなくても構造的局在化を示す。
• 拡散状態は波動関数において強い記憶依存性を示し、エルゴード的状態ではなく非エルゴード的拡散状態の存在を支持する。
• ネットワーク内における共鳴三重項（3サイクル）は、フォック空間における相互作用する多体状態として解釈され、その数が局在化行動に重要な影響を及ぼす。
• この転移は、3サイクル形成に起因する自己組織的構造化によって駆動される時間並進不変系における『無秩序のない局在化』として解釈される。
• 数値的証拠から、拡散状態は1段階レプリカ対称性の破れに対応する可能性があり、非エルゴード性および多分形波動関数構造と整合的である。