[論文レビュー] Many-Body Localization Transition, Temporal Fluctuations of the Loschmidt Echo, and Scrambling

Jun Yang, Alioscia Hamma|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Quantum many-body systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子クイルク後の不規則ヘイゼンベルクスピン鎖における多体局在化（MBL）遷移を調査し、ETHおよびMBL相において、ロシュミットエコーの時間的フラクチュエーションおよびその無限時間平均が異なるスケーリングを示すことを示している。主な発見は、これらのフラクチュエーションの有限サイズスケーリング、特に2次参加比IPR₂が、類似した有限時間のダイナミクスを示すにもかかわらず、2相を明確に区別するダイナミカルな秩序パラメータとして機能することである。

ABSTRACT

We show that the transition between a ETH phase and a many-body localized phase is marked by the different finite size scaling behaviour of the decay of the Loschmidt Echo and its temporal fluctuations - after a quantum quench - in the infinite time limit, despite the fact that the finite time behaviour of such quantities is dramatically different approach the MBL phase, so that temporal fluctuations cannot be inferred from the infinite time average of the Loschmidt Echo. We also show the different scrambling powers of ETH and MBL Hamiltonians as a probe to the different approaches to equilibrium.

研究の動機と目的

• 平衡性質を超えた多体局在化（MBL）遷移のダイナミカルな兆候を特定すること。
• 量子クイルク後のETH相とMBL相におけるロシュミットエコーの時間的フラクチュエーションの違いを調査すること。
• ロシュミットエコーの無限時間平均またはそのフラクチュエーションが、MBL遷移の信頼できるプローブとして機能するかどうかを評価すること。
• 変化する正規直交状態のトレース距離を用いて、ETHとMBLハミルトニアンのスキャッタリング能力を比較すること。
• 両相におけるスキャッタリング時間T*の有限サイズスケーリングを特定し、ダイナミカルな局在化と関連付けること。

提案手法

• 量子クイルク後の初期状態とその時間発展状態との重なり |⟨ψ(0)|ψ(t)⟩|² としてロシュミットエコー（LE）を計算する。
• 局所的観測量の時間的フラクチュエーションを制限する、IPR₂ = ∑_n |C_n|⁴ を用いて、LEの無限時間平均を分析する。
• IPR₂ を局在化のプローブとして用いる：ETH（エルゴディック）相では IPR₂ → 0、MBL相では IPR₂ → 定数となり、持続的なフラクチュエーションを示す。
• 2つの正規直交状態でエネルギーが類似した状態のトレース距離がε = 5×10⁻⁷以内に安定化する時間として、スキャッタリング時間T*を定義する。
• 半鎖の縮約密度行列を用いて、トレース距離 d(φ,ψ) = ½‖φ − ψ‖ を測定し、50〜1000回の不純度実現平均をとる。
• 系サイズLに対するlog T*の有限サイズスケーリングを実施し、ETH（log T* が有界）とMBL（log T* ∝ L）の挙動を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子クイルク後のETH相とMBL相におけるロシュミットエコーの時間的フラクチュエーションは、どのように異なるか？
• RQ2 ロシュミットエコーの無限時間平均またはそのフラクチュエーションは、MBL遷移の信頼できる秩序パラメータとして機能するか？
• RQ3 ETH相およびMBL相におけるスキャッタリング時間T*の有限サイズスケーリング挙動は何か？
• RQ4 最大の区別不能性喪失に至るまでの時間（測定されたスキャッタリング能力）は、ETHとMBLハミルトニアンでどのように異なるか？
• RQ5 IPR₂およびT*のスケーリングから示唆されるように、MBL遷移が発現する不純度強度hはどの程度か？

主な発見

• MBL遷移は、2次参加比IPR₂の有限サイズスケーリングの変化によって特徴づけられる：ETH相ではIPR₂ → 0、MBL相ではIPR₂ → 定数となり、MBL相では持続的な時間的フラクチュエーションが生じる。
• MBL遷移の臨界不純度強度は h_c ≈ 3 ± 0.3 と推定され、先行研究と整合的である。
• ETH相では、対数スケーリングされたスキャッタリング時間 log T* は有界であり、系サイズLに依存しない。これは高速スキャッタリングを示す。
• MBL相では、log T* は系サイズLに線形にスケーリングする。これは、遅いダイナミクスに起因する指数的遅いスキャッタリングを示す。
• MBL相では、多項式時間内に平衡化が達成されないため、ロシュミットエコーの時間的フラクチュエーションはその無限時間平均からは予測できない。
• IPR₂ は、有限時間のLE挙動が類似しているにもかかわらず、2相で異なるスケーリングを示すため、MBL遷移のダイナミカルな秩序パラメータとして機能する。