[論文レビュー] Many-body magic via Pauli-Markov chains -- from criticality to gauge theories

Poetri Sonya Tarabunga, Emanuele Tirrito+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2023

Theoretical and Computational Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、木テンソルネットワークを用いてO(log N)スケーリングを達成する安定化Rényiエントロピー（SRE）の不偏推定を可能にする、パウリ-マルコフ連鎖法を導入し、多体量子系における多体のマジックを効率的に計算する。長距離のマジック—従来はアクセス不可能だった—が1次元系における量子臨界性を鋭く示し、2次元Z₂ゲージ理論におけるコンfinement-Deconfinement転移が臨界スケーリングを示すことが判明した。

ABSTRACT

We introduce a method to measure many-body magic in quantum systems based on a statistical exploration of Pauli strings via Markov chains. We demonstrate that sampling such Pauli-Markov chains gives ample flexibility in terms of partitions where to sample from: in particular, it enables to efficiently extract the magic contained in the correlations between widely-separated subsystems, which characterizes the nonlocality of magic. Our method can be implemented in a variety of situations. We describe an efficient sampling procedure using Tree Tensor Networks, that exploits their hierarchical structure leading to a modest $O(\log N)$ computational scaling with system size. To showcase the applicability and efficiency of our method, we demonstrate the importance of magic in many-body systems via the following discoveries: (a) for one dimensional systems, we show that long-range magic displays strong signatures of conformal quantum criticality (Ising, Potts, and Gaussian), overcoming the limitations of full state magic; (b) in two-dimensional $\mathbb{Z}_2$ lattice gauge theories, we provide conclusive evidence that magic is able to identify the confinement-deconfinement transition, and displays critical scaling behavior even at relatively modest volumes. Finally, we discuss an experimental implementation of the method, which only relies on measurements of Pauli observables.

研究の動機と目的

• 多体量子系におけるマジックの計算に、スケーラブルで効率的な手法が不足していること、特に非局所的または長距離寄与に対して対処する。
• すべての順序の安定化Rényiエントロピー（SRE）の不偏推定器を提供する、パウリストリング上のマルコフ連鎖に基づく確率的サンプリングフレームワークの開発。
• 完全状態のマジック測定の制限を克服し、紫外発散しない長距離マジック—非局所的量子相関を捉える—の計算を可能にする。
• 木テンソルネットワーク（TTN）を用いて、1次元および2次元系における量子臨界性および相転移の検出において、本手法の効率性と正確性を示す。
• 量子系におけるマジックの測定に、パウリ観測量の測定のみに依存する実用的で実験的に実現可能なプロトコルの提供。

提案手法

• 本手法は、波動関数の確率的サンプリングを可能にするパウリストリング上のマルコフ連鎖を用い、任意の分割における安定化Rényiエントロピー（SRE）の効率的推定を実現する。
• 詳細釣合と再帰性を満たすようにマルコフ連鎖を構築し、大規模または非局所的部分系に対しても、すべての順序のSREの不偏推定器を提供する。
• アルゴリズムは、階層的構造を活用してO(log N)の計算スケーリングを達成する木テンソルネットワーク（TTN）を用いて実装される。
• 自己相関時間と統計誤差をモニタリングし、収束性とサンプリング効率を確保し、結合次元の変化にわたる収束チェックにより結果を検証する。
• 本手法は、完全状態のマジックと長距離マジックの両方の計算に適用され、後者は非局所的マジックの相互情報量に類似した測度として定義される。
• 双対変換（例：2次元横磁場イジング模型とZ₂ゲージ理論の間）を用いて、双対モデル間で結果をマッピングするが、長距離マジックはこのような写像では保存されない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広く離れた部分系間の相関におけるマジックとして定義される長距離マジックは、1次元系における量子臨界性の強固で紫外発散のない指標として機能するか？
• RQ2 提案されたパウリ-マルコフ連鎖法は、統計誤差を制御しつつ、大規模な多体系において安定化Rényiエントロピー（SRE）を効率的かつ正確に計算可能か？
• RQ3 2次元Z₂格子ゲージ理論におけるコンfinement-Deconfinement転移は、長距離マジックで検出可能であり、有限系サイズにおいて臨界スケーリングの振る舞いを示すか？
• RQ4 低結合次元のTTN近似（χ=30）を用いる場合、長距離マジックは、ボンダー・キュービットのような従来の秩序パラメータと比較して、量子臨界点を検出する上で優れているか？
• RQ5 長距離マジックは双対変換においてどの程度保存されるか？また、2次元イジング模型とZ₂ゲージ理論といった双対理論間で、その分布はどのように異なるか？

主な発見

• 長距離マジックは、1次元系（イジング、ポッツ、ガウス模型）における conformal 量子臨界性の鋭い兆候を示すが、スピン-1 XXZ模型では完全状態のマジックは臨界性を検出できない。
• パウリ-マルコフ連鎖法は、木テンソルネットワークを用いた実装により、系サイズNに対してO(log N)のスケーリングを達成し、大規模系ですらSREの効率的計算を可能にする。
• 2次元Z₂格子ゲージ理論では、長距離マジックがコンfinement-Deconfinement転移を特定し、比較的小さな系サイズでも臨界スケーリングの振るまいを示す。これは、その実用的価値を強く裏付ける。
• SRE推定器の標準偏差は、σ ∝ N^(-0.503) のようにスケーリングされ、系サイズの増加に伴い統計的収束性が信頼できることが示された。
• 低結合次元のTTN（χ=30）を用いる場合、本手法はボンダー・キュービットを上回り、2次元横磁場イジング模型における臨界点検出に優れている。後者は、基底状態の表現が不十分であるため、明確な交差行動を示さない。
• 双対変換（例：2次元イジング模型とZ₂ゲージ理論の間）においてSREは保存されるが、長距離マジックは不変ではなく、非局所的性質と双対理論間での分布の違いを反映している。