[論文レビュー] Many-body theory of non-equilibrium systems

Alex Kamenev|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 7被引用数 65

ひとこと要約

本稿では、終状態の情報に依存しない動的記述を可能にする閉じた時間経路を用いて、非平衡量子多体系のケルディッシュ形式の機能的積分表現を提示する。ボソン場のケルディッシュ作用を導出し、古典的ランジュバンおよびフォッカー・プランク方程式との関係を確立し、$i0$正則化を通じて量子効果が現れることを示し、これにより量子動的方程式や不規則系の非線形$\sigma$-モデルの導出が可能になる。

ABSTRACT

Lectures notes for 2004 Les Houches Summer School on "Nanoscopic Quantum Transport". These lectures contain an introduction to Keldysh formalism for interacting bosonic and fermionic systems, presented in the functional integral framework. Covered topics include: kinetic theory, relation to classical techniques (such as Martin--Siggia--Rose and Fokker--Planck), non--linear sigma model for disordered fermions, etc.

研究の動機と目的

• 閉じた時間経路$\mathcal{C}$を用いたケルディッシュ経路の関数的統合的手法を、非平衡量子多体系理論に体系的に適用する。
• ケルディッシュ形式とマーティン＝シギア＝ローズの手法やランジュバン／フォッカー・プランク方程式といった古典的手法との関係を確立する。
• レプリカや超対称性を用いずに、全計数統計の計算および不規則系の取り扱いを可能にするフレームワークを提供する。
• フェルミオン、相互作用を有するボソン、クエンチド不規則性を有する系へとケルディッシュ形式を一般化する。
• 特定の極限においてケルディッシュ形式が平衡マツバラ技法と等価であることを示し、複雑な解析的接続の代替手段を提供する。

提案手法

• 非平衡ダイナミクスにおける最終状態依存性を回避するため、前向きおよび後向きの枝を持つ閉じた時間経路$\mathcal{C}$を用いる。
• ケルディッシュ回転$q_\pm = q_{\text{cl}} \pm q_q$を用いて、古典的成分($q_{\text{cl}}$)と量子的成分($q_q$)に分離したケルディッシュ作用を定式化する。
• 調和振動子のケルディッシュ経路積分作用：$S[q] = \int_{\mathcal{C}} dt \left[ \frac{1}{2} \dot{q}^2 - \frac{\omega_0^2}{2} q^2 \right]$を導出。これは経路上で標準的なファインマン作用に還元される。
• ケルディッシュ作用における時序的ダイナミクスを実現するため、レディエイト微分作用素$(-\partial_t^2 + v_s^2 \nabla_r^2)^R$を導入する。
• $\delta$-関数制約を介して、量子成分$q_q$の明示的統合により、古典的運動方程式が強制される。
• 実スカラー場への一般化として、ケルディッシュ作用：$S[\varphi] = \int dr \int_{\mathcal{C}} dt \left[ \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - \frac{v_s^2}{2} (\nabla_r \varphi)^2 - U(\varphi) \right]$を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平衡量子系に対して、関数的統合を用いたケルディッシュ形式を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 ケルディッシュ形式とマーティン＝シギア＝ローズやランジュバン的手法といった古典的確率的手法との明確な関係は何か？
• RQ3 ケルディッシュ形式は、平均値や相関関数を超えた全計数統計の計算をどのように可能にするか？
• RQ4 不規則系において、レプリカ法や超対称性法の代替手段としてケルディッシュ形式が果たす役割は何か？
• RQ5 ケルディッシュ作用は半古典的極限でどのように古典的ダイナミクスを回復するのか？また、量子補正項はどこに現れるのか？

主な発見

• ケルディッシュ形式により、生成関数に全確率分布を符号化することで、量子観測量の全計数統計の計算が可能になる。
• 作用に現れる$i0$正則化項$i0 q_q^2$が、ダイナミクスのレディエイト性を決定づけ、正しい量子的進化を保証する。
• 半古典的極限において、$q_q$-統合は$\delta$-関数制約を通じて、古典的ニュートン方程式$\ddot{q}_{\text{cl}} = -\partial U / \partial q_{\text{cl}}$を強制する。
• 調和系では$O(q_q^3)$項が恒等的に消えるため、量子補正はすべて$i0$項および時間微分のレディエイト正則化に符号化されている。
• スカラー場のケルディッシュ作用は$S[\varphi_{\text{cl}}, \varphi_q] = \int dr \int dt \left[ 2\varphi_q (v_s^2 \nabla_r^2 - \partial_t^2)^R \varphi_{\text{cl}} + \cdots \right]$の形を取り、レディエイト作用素が因果律を保証する。
• この形式は、不規則フェルミオン系のウサドル方程式および非線形$\sigma$-モデルを正確に再現し、非摂動的および強い相関領域でも有効であることを示している。