[論文レビュー] Many parameter Lipschitz perturbation of unbounded operators

Andreas Kriegl, Peter W. Michor+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンpactな解体を持つ非有界自己共役作用素族 A(u) の固有値の正則性に関する結果を確立する。A(u) が C¹,α であるとき、固有値は局所的に 1-Hölder 継続的である。A(u) が C⁰,¹ であるとき、固有値は局所的に指数 1/N の Hölder 継続的であり、ここで N は固有値の最大局所的重複度である — 重複度 N=2 の場合には C⁰,¹ に改善される。

ABSTRACT

Abstract. If u ↦ → A(u) is a C 1,α-mapping having as values unbounded selfadjoint operators with compact resolvents and common domain of definition, parametrized by u in an (even infinite dimensional) space then any continuous arrangement of the eigenvalues u ↦ → λi(u) is C 0,1 in u. If u ↦ → A(u) is C 0,1, then the eigenvalues may be chosen C 0,1/N (even C 0,1 if N = 2), locally in u, where N is locally the maximal multiplicity of the eigenvalues. Theorem. Let U ⊆ E be a c ∞-open subset in a convenient vector space E. Let u ↦ → A(u), for u ∈ U, be a mapping with values unbounded self-adjoint operators in a Hilbert space H with common domain of definition and with compact resolvent. (A) If u ↦ → A(u) is C 1,α, for some 0 < α ≤ 1, then any continuous arrangement of the eigenvalues of A(u) (e.g., ordered by size), is C 0,1. (B) If u ↦ → A(u) is C 0,1, then the increasingly ordered continuous eigenvalues of A(u) are C 0,1/N locally in u ∈ U, where N is locally the maximal multiplicity of the eigenvalues. If N = 2, the increasingly ordered eigenvalues are even locally C 0,1.

研究の動機と目的

• コンpactな解体を持つ非有界自己共役作用素族の固有値配置の正則性を分析すること。
• 作用素族 A(u) の滑らかさがその固有値の Hölder 正則性に与える影響を特定すること。
• A(u) に最小限の正則性仮定を置いたもとで、固有値分岐の鋭い Hölder 指数を確立すること。
• 特に固有値が交差する場合に、固有値正則性が局所的重複度にどのように依存するかを解明すること。

提案手法

• 無限次元パラメータ空間を扱うために、便利なベクトル空間の使用。
• 写像 u ↦→ A(u) に対する C¹,α および C⁰,¹ 正則性条件の適用により、固有値の正則性を導出する。
• コンpactな解体を持つ非有界自己共役作用素のスペクトル理論の適用により、離散的かつ孤立した固有値を保証する。
• 連続的な固有値配置（例えば、大きさの順に並べたもの）の使用により、パラメータ u における Hölder 継続性を研究する。
• 固有値重複度 N の局所的分析により、固有値分岐の最適 Hölder 指数 1/N を特定する。
• 既知の摂動理論およびスペクトルフローの結果を活用して、u に関する固有値変動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素族 A(u) がパラメータ u に関してのみ C⁰,¹ であるとき、固有値の最適 Hölder 正則性は何か？
• RQ2 固有値の最大局所的重複度 N は、固有値分岐の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 最大重複度が N=2 の場合、固有値正則性を C⁰,¹/N から C⁰,¹ に改善できるか？
• RQ4 A(u) が C¹,α 正則性をもつ場合、任意の連続的固有値配置は C⁰,¹ 正則性をもつだろうか？
• RQ5 パラメータ空間の無限次元性は、固有値写像の正則性にどのように影響するか？

主な発見

• A(u) がある α ∈ (0,1] に対して C¹,α であるならば、任意の連続的固有値配置は u に関して C⁰,¹（1-Hölder 継続的）である。
• A(u) が C⁰,¹ である場合、大きさの順に並べた固有値は、局所的に u に関して C⁰,¹/N である。ここで N は局所的固有値重複度の最大値である。
• N=2 の場合、大きさの順に並べた固有値は局所的に C⁰,¹ であり、一般の 1/N 界を改善する。
• これらの結果は、共通の定義域とコンpactな解体を持つ非有界自己共役作用素族に対して成り立つ。
• パラメータ空間 E が無限次元であっても、それが便利なベクトル空間であれば、正則性結果は有効である。
• 大きさの順に並べたような連続的固有値配置に適用可能であり、Hölder 評価の堅牢性が保証される。