[論文レビュー] Many-server queues with customer abandonment: numerical analysis of their diffusion models

Shuangchi He, J. G. Dai|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、顧客の放棄を伴う多数サーバー待ち行列の動的挙動を近似するために、位相型サービス時間と一般の忍耐時間分布を用いた2つの多次元拡散モデルを提案する。参照密度に基づく数値アルゴリズムを構築し、これらの拡散過程の定常分布を計算する。20台のサーバー程度の小さなシステムに対しても高い精度を示す。

ABSTRACT

We use multidimensional diffusion processes to approximate the dynamics of a queue served by many parallel servers. The queue is served in the first-in-first-out (FIFO) order and the customers waiting in queue may abandon the system without service. Two diffusion models are proposed in this paper. They differ in how the patience time distribution is built into them. The first diffusion model uses the patience time density at zero and the second one uses the entire patience time distribution. To analyze these diffusion models, we develop a numerical algorithm for computing the stationary distribution of such a diffusion process. A crucial part of the algorithm is to choose an appropriate reference density. Using a conjecture on the tail behavior of a limit queue length process, we propose a systematic approach to constructing a reference density. With the proposed reference density, the algorithm is shown to converge quickly in numerical experiments. These experiments also show that the diffusion models are good approximations for many-server queues, sometimes for queues with as few as twenty servers.

研究の動機と目的

• スケーラビリティと近似の向上を図るために、拡散過程を用いて顧客の放棄を伴う多数サーバー待ち行列をモデル化・分析すること。
• 指数分布や位相型分布の仮定を超えて、一般のサービス時間および忍耐時間分布に対する正確な解析的手法の欠如に応えること。
• 待ち行列の動的挙動をモデル化する区分的オーナイズ・ウーレンボルグ（OU）拡散過程の定常分布を計算するための数値アルゴリズムを開発すること。
• シミュレーション結果と比較することで、20台のサーバー程度の小さなシステムに対しても、拡散近似の精度を検証すること。
• 収束が速くなるように保証する参照密度を体系的に構築する方法を確立すること。

提案手法

• 2つの拡散モデルを提案：1つは忍耐時間密度のゼロにおける値のみを用い、もう1つは完全な忍耐時間分布を用いる。両者とも、サービス段階にいる顧客数のスケーリングされた表現をモデル化する。
• 重交通および品質・効率ドリブン（QED）領域における待ち行列の動的挙動を、多次元の区分的オーナイズ・ウーレンボルグ（OU）過程で表現する。
• 基本随伴関係（BAR）を用いて、拡散過程の定常分布を特徴付ける。
• 適切に選ばれた参照密度を用いたヒルベルト空間フレームワークを導入し、定常密度の数値的計算を可能にする。
• 無限次元部分空間の有限次元近似を用いて、ヒルベルト空間内での直交条件を解く。
• 多項式近似とメッシュの細分化を用い、数値解の収束を保証する。これには補間誤差推定を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元拡散過程は、顧客の放棄を伴う多数サーバー待ち行列の挙動をどの程度正確に近似できるか？
• RQ2 参照密度の構築に際して、忍耐時間密度のゼロにおける値のみを用いるのと、完全な忍耐時間分布を用いるのとでは、拡散モデルにどのような影響を与えるか？
• RQ3 数値的に安定したアルゴリズムは、区分的OU拡散過程の定常分布を高精度で計算できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムはどの程度速く収束するのか？どの参照密度が収束を速くするか？
• RQ5 サーバー数が少ない（例：20台）場合でも、拡散モデルはどの程度正確に保たれるか？

主な発見

• 提案された拡散モデルは、20台のサーバー程度の小さなシステムに対しても、顧客の放棄を伴う多数サーバー待ち行列を非常に高い精度で近似する。
• 提案された参照密度に基づく数値アルゴリズムは、すべてのテストされた数値実験において速やかに収束する。
• ヒルベルト空間フレームワークと有限次元近似を用いることで、区分的OU拡散過程の定常分布を効果的に計算できる。
• 極限待ち行列長過程の尾部挙動に関する予想を根拠にした体系的な参照密度構築法は、アルゴリズムの収束性を顕著に改善する。
• 閉形式解が得られない多次元拡散過程に対しても、アルゴリズムは定常分布を効果的に計算できる。
• 数値結果により、拡散モデルがキュー長や放棄確率などの主要な性能指標を高い忠実度で捉えていることが確認され、運用意思決定への応用が妥当であることが裏付けられた。