[論文レビュー] Many toric ideals generated by quadratic binomials possess no quadratic Gröbner bases

Takayuki Hibi, Kenta Nishiyama+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二次二項式によって生成されるトーリックイデアルをもつが、二次グレブナー基底をもたない、無限個の連結単純グラフの族を構成し、Koszul性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことを示している。組合せ的基準とコンピュータ支援の列挙を用いて、8頂点以下のすべてのこのようなグラフを分類し、214例を同定した。そのうち213例は非Koszulであることが確認され、残り1例は理論的考察により解明された。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite connected simple graph and $I_{G}$ the toric ideal of the edge ring $K[G]$ of $G$. In the present paper, we study finite graphs $G$ with the property that $I_{G}$ is generated by quadratic binomials and $I_{G}$ possesses no quadratic Gröbner basis. First, we give a nontrivial infinite series of finite graphs with the above property. Second, we implement a combinatorial characterization for $I_{G}$ to be generated by quadratic binomials and, by means of the computer search, we classify the finite graphs $G$ with the above property, up to 8 vertices.

研究の動機と目的

• トーリックイデアルが二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底をもたない有限連結単純グラフを特定すること。
• このようなグラフの非自明な無限族を構成し、Koszul性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことを立証すること。
• 計算的列挙と組合せ的基準を用いて、8頂点以下のすべてのこのようなグラフを分類すること。
• Koszulトーリック環が二次グレブナー基底を持たない例が存在するかどうかという未解決問題を、同定された例の分析により解明すること。

提案手法

• 文献[14, 定理1.2]における組合せ的特徴づけを用い、偶数サイクルと最小奇サイクルの構造に基づいて$I_G$が二次二項式によって生成される条件を同定する。
• nautyを用いて、8頂点以下の同型非同型の連結単純グラフをすべて生成する。
• CyPathを用いて、各グラフにおけるすべての偶数サイクルおよび最小奇サイクルを列挙し、基準の確認に用いる。
• Risa/Asirを用い、ランダムに選ばれた重みベクトルを用いてグレブナー基底を計算する。各グラフに対して10,000回の反復を実行し、二次グレブナー基底をもつグラフを除外する。
• Macaulay2を用いて$K[G]$のKoszul性をテストし、必要に応じてTiGERS/CaTSを用いて完全なグレブナー基底を計算する。
• 定理2.8を用いて、不定なケースを解明し、それが7サイクルの補グラフのサスペンションであることを示し、これも二次グレブナー基底をもたないことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限連結単純グラフ$G$で、$I_G$が二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底をもたないものが存在するか？
• RQ2 このようなグラフの無限族を明示的に構成できるか？
• RQ3 8頂点以下のすべてのこのようなグラフの完全な分類は何か？
• RQ4 Koszulトーリック環$K[G]$で、そのトーリックイデアル$I_G$が二次グレブナー基底を持たない例は存在するか？

主な発見

• 奇数サイクル（長さ$n \geq 5$）の補グラフのサスペンションとして、$(*)$-最小グラフの無限族を構成し、このようなグラフが存在し、無限個にわたることを証明した。
• 8頂点以下のグラフにおいて、$I_G$が二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底をもたないグラフは合計214例存在する。
• そのうち213例はMacaulay2により非Koszulであることが確認され、残り1例は定理2.8により、二次グレブナー基底をもたないことが解明された。
• 分類の結果、8頂点のグラフのうち51例が次数1の頂点をもつことが判明し、構造的な多様性が示された。
• Koszul性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことが、無限系列においても同様に確認された。
• 本稿では、8頂点のすべてのこのようなグラフの完全なリストをhttp://www2.rikkyo.ac.jp/~ohsugi/minimalexamples/で提供している。