[論文レビュー] MAPLE subroutines for computing Milnor and Tyurina numbers of hypersurface singularities with application to Arnol'd adjacencies

Michele Rossi, Lea Terracini|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Moraアルゴリズムを用いた局所単項式順序による局所的単項式順序を用いて、孤立超曲面特異点のミルナー数およびチウリナ数を計算する新しいMAPLEサブルーチンを提示する。これにより、カウリシ空間の階層構造の明示的計算が可能になる。主な貢献は、MAPLEにおける局所単項式順序の初の実装であり、代数的階層構造を通じてアーノルドの単純特異点間の隣接関係を幾何的に実現することに応用されている。

ABSTRACT

In the present paper MAPLE subroutines computing Milnor and Tyurina numbers of an isolated algebraic hypersurface singularity are presented and described in detail. They represents examples, and perhaps the first ones, of a MAPLE implementation of local monomial ordering. As an application, the last section is devoted to writing down equations of algebraic stratifications of Kuranishi spaces of simple Arnol'd singularities: they geometrically represents, by means of inclusions of algebraic subsets, the partial ordering on classes of simple singularities induced by the adjacency relation.

研究の動機と目的

• 専門的なコンピュータ代数システムの知識を必要としない、広く利用可能なMAPLEサブルーチンを用いて、孤立超曲面特異点のミルナー数およびチウリナ数を計算するためのアクセス可能で使いやすいツールを開発すること。
• 従来MAPLEで非対応であった局所単項式順序を、Moraアルゴリズムを用いて実装し、収束べき級数環における弱正規形および単項式基底の計算を可能にすること。
• アーノルドの単純特異点のカウリシ空間に対して明示的な代数的階層構造を構築し、代数的部分集合の包含関係を通じて、隣接関係の半順序を幾何的に表現すること。
• 具体的な1パラメータ変形を提供し、特異点間の特別な隣接関係（例：$D_n \to A_{n-1}$、$E_8 \to D_7$）を実現することにより、既知の結果を拡張すること。
• イタリア法133/08がイタリアの科学研究への公的資金提供を脅かしているのを懸念し、数学的研究に向けたオープンでアクセス可能なツールの重要性を強調することで、反対の意思を表明すること。

提案手法

• 標準的なグローバル単項式順序（例：重み付き辞書的順序）の逆順として局所単項式順序を定義することで、MAPLEに局所単項式順序を実装し、このような順序下でバーチャーバッハのアルゴリズムが非終了することを克服する。
• Moraアルゴリズムを用いて、$\mathbb{C}\{x_1,\dots,x_{n+1}\}$におけるミルナーおよびチウリナイデアルの弱正規形および単項式基底を計算し、収束べき級数環における計算を可能にする。
• 局所代数 $\mathcal{O}_n / (\partial f / \partial x_i)$ の次元としてミルナー数 $\mu$ および $\mathcal{O}_n / (f, \partial f / \partial x_i)$ の次元としてチウリナ数 $\tau$ を計算するための手続きを構築する。
• パラメータ $\lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_r)$ を持つ多項式環へ計算を拡張し、$(\mathbb{C}[\lambda])[ω]$ における変形理論の計算を可能にする。
• 得られた単項式基底を用いて、カウリシ空間における代数的階層構造の明示的方程式を書き下ろし、小さな普遍変形をパラメータ化する。
• 得られたルーチンを用いて、カウリシ空間構造から導かれる方程式系を解き、$E_8 \to D_7$ のような単純特異点間の隣接関係を実現する1パラメータ変形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広く利用可能なコンピュータ代数システム（例：MAPLE）を用いて、孤立超曲面特異点のミルナー数およびチウリナ数をどのように効率的に計算できるか。
• RQ2 標準的なグレーブナー基底アルゴリズムがこのような順序下で非終了するにもかかわらず、MAPLEにおける局所単項式順序の実装の可能性と正しさは何か。
• RQ3 カウリシ空間の明示的な代数的階層構造を構築し、単純特異点間のアーノルドの隣接関係の半順序を代数的部分集合の包含関係を通じて幾何的に表現できるか。
• RQ4 $D_n \to A_{n-1}$、$E_8 \to D_7$、$E_6 \to D_5$ のような特別な隣接関係を実現する明示的な1パラメータ変形は何か。
• RQ5 単純特異点のカウリシ空間をどのように代数的にパラメータ化すれば、特異点型の遷移が制御された変形族の構築が可能になるか。

主な発見

• 著者らは、Moraアルゴリズムを用いて、MAPLEに局所単項式順序を成功裏に実装し、$\mathbb{C}\{x_1,\dots,x_{n+1}\}$ における弱正規形および単項式基底の計算を可能にした。これは、MAPLEにおいて従来達成されていなかった能力である。
• サブルーチンは、パラメータ付き設定下でグレーブナー基底技術を用いて、孤立超曲面特異点のミルナー数 $\mu$ およびチウリナ数 $\tau$ を計算し、$\tau \leq \mu$ が計算的に確認された。
• 本手法により、カウリシ空間における代数的階層構造の明示的方程式が得られ、たとえば $\mathcal{W}_7 \cap \widetilde{\mathcal{W}}_2^6$ のような例は、単純特異点間の隣接関係を幾何的に符号化している。
• 本稿では、$A_{n-1} \leftarrow D_n$（$n \geq 4$）、$A_5 \leftarrow E_6$、$D_5 \leftarrow E_6$、$A_6 \leftarrow E_7$、$D_6 \leftarrow E_7$、$A_7 \leftarrow E_8$、$D_7 \leftarrow E_8$ の7つの特別な隣接関係を実現する1パラメータ変形を提供し、明示的な多項式族 $f_t(\mathbf{x})$ を示している。
• $E_8 \to D_7$ の隣接関係に関して、変形 $f_t(\mathbf{x}) = f_0(\mathbf{x}) -27t^4 x_N x_{N+1}^2 + \cdots$ が一般の $t$ に対して $D_7$ 特異点を与えることが示され、隣接関係が確認された。
• 実装はユーザーフrndlyであり、学部生でも利用可能であり、SINGULARのような専門的ソフトウェアの習得を必要とせずに、複雑な特異点不変量を計算できることを示している。