[論文レビュー] Mapping class groups are not linear in positive characteristic

J. O. Button|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、閉曲面または穴あきや境界成分をもつ曲面を含む、 genus 3 以上の可定向曲面の写像類群が、任意の正標数体上の任意の次元で忠実な線形表現をもたないことを証明している。主な論拠は、このような表現において、無限位数をもつデーン回転（Dehn twists）が、その中心化群のアーベル化において無限位数の元に写されるべきであるが、正標数体上の線形群では、あるべき乗が対角化可能となり、その結果、アーベル化においては有限位数の元しか取り得ないという既知の性質と矛盾することに帰着する。

ABSTRACT

For $Σ$ an orientable surface of finite topological type having genus at least 3 (possibly closed or possibly with any number of punctures or boundary components), we show that the mapping class group $Mod(Σ)$ has no faithful linear representation in any dimension over any field of positive characteristic.

研究の動機と目的

• genus ≥3 の曲面の写像類群が、正標数体上で忠実な線形表現をもつかどうかを特定すること。
• 幾何的群論における長年の未解決問題、すなわち正標数における写像類群の線形性に関する問題を解決すること。
• 特徴が 0 の場合の非線形性に関する既知の結果を、正標数の設定へと拡張すること。
• 無限位数の元の中心化群のアーベル化に基づく構造的障害を確立すること。
• 写像類群が CAT(0) 空間上で正しく、半単純に作用するという幾何的性質が、正標数における非線形性と一致することを示すこと。

提案手法

• 正標数代数閉体上の線形群では、任意の元のべき乗が対角化可能になるという事実の利用。
• 任意の g ∈ GL(d, F) に対して g^K が対角化可能になる一様な指数 K（標数のべき）の存在を活用すること。
• g^K が対角行列であるとき、それを可換にする行列のブロック構造を分析し、中心化群をブロック行列への分解に帰着させること。
• 各ブロック構造を保つように定義される、中心化群から体の乗法群への部分行列式準同型 det_i を導入すること。
• g^K のすべての固有値が有限位数であれば、g も有限位数であることが示され、これはデーン回転の無限位数性と矛盾する。
• この矛盾を、写像類群におけるデーン回転の中心化群に適用し、そのアーベル化が有限であるという既知の事実を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 3 以上の曲面の写像類群が、任意の正標数体上で忠実な線形表現をもつか？
• RQ2 正標数体上の線形群において、元のべき乗が対角化可能になるという性質が、無限位数の元の中心化群に構造的障害をもたらすか？
• RQ3 CAT(0) 空間上で正しく、半単純に作用するという性質の欠如と、正標数における非線形性との間に関係があるか？
• RQ4 写像類群におけるデーン回転の中心化群のアーベル化が、正標数における線形性の障害として用いられるか？
• RQ5 中心化群のアーベル化において、無限位数を検出できない行列式に類する部分準同型が存在することは、正標数における非線形性を示唆するか？

主な発見

• 任意の正標数体に対して、一様な指数 K（標数のべき）が存在し、GL(d, F) のすべての g に対して g^K が対角化可能である。
• 正標数体上の線形群では、元 g が無限位数をもつならば、その中心化群からの部分行列式準同型のうち、少なくとも一つは g をアーベル化において無限位数の元に写す。
• genus ≥3 の曲面の写像類群におけるデーン回転の中心化群のアーベル化は有限であるが、正標数の線形表現ではこの性質と矛盾する。
• この矛盾から、写像類群が任意の正標数体上で忠実な線形表現をもたないことが導かれる。
• 穴の数や境界成分の数に関わらず、曲面の genus が 3 以上であれば、この結果は成り立つ。
• 証明は、すべての次元およびすべての正標数体に一様に適用可能な構造的障害を確立している。