[論文レビュー] Mapping Class Groups do not have Kazhdan's Property (T)

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|Jun 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、閉じた向き付け可能な曲面の自己同型群が、非自明な不変ベクトルを持たないがほとんど不変ベクトルを持つユニタリ表現を構成することにより、 genus 2 以上の曲面の自己同型群がカジダンの性質 (T) を持たないことを証明している。リシェティヒン＝トゥレイヴの位相的量子場理論と、SU(2) 平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化を用いて、ほとんど固定ベクトルは存在するが非自明な固定ベクトルは存在しない有限次元表現の族を構成し、性質 (T) の否定を示している。

ABSTRACT

We prove that the mapping class group of a closed oriented surface of genus at least two does not have Kazhdan's property (T).

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な曲面の genus が 2 以上の自己同型群がカジダンの性質 (T) を持たないことを否定すること。
• 位相的量子場理論から導かれるユニタリ表現を用いて、性質 (T) の反例を構成すること。
• 非自明な不変ベクトルから生じないがほとんど不変ベクトルを有するユニタリ表現におけるほとんど不変ベクトルの存在を示すこと。
• ヴェルリンデ bundle 及びその関連する平坦接続が、性質 (T) が成り立たない忠実な表現を提供することを確立すること。

提案手法

• 曲面 $\Sigma - \{p\}$ 上の平たく $SU(2)$ 接続のモジュライ空間 $M$ を構成し、$p$ における holonomy が $-\mathrm{Id}$ であるようにし、シンプレクティック構造を備える。
• 空間 $M$ に幾何学的量子化を適用し、テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}$ 上の $\mathcal{L}^k$ の正則切断のバンドルであるヴェルリンデバンドル $\mathcal{V}_k$ を得る。
• $\mathcal{V}_k$ 上の平坦な $\Gamma$-不変接続 $\hat{\nabla}$ を用いて、共変定数切断上の自己同型群 $\Gamma$ のユニタリ表現を定義する。
• トレースがゼロの自己準同型バンドル $\mathrm{End}_0(\mathcal{V}_k)$ を構成し、共変定数切断の空間 $\mathcal{H}_k$ 上に表現を定義する。
• 群 $\pi_1(\Sigma - \{p\})$ から有限部分群 $\Lambda \subset SU(2)$ への準同型を用いて、$M$ 内の $\Gamma$-不変な有限集合 $X \subset M$ を定義する。
• 点質量から成る $X$ 上の切断 $E_X^{(k)}$ を $\mathrm{End}(\mathcal{V}_k)$ の切断として構成し、そのトレースがゼロの部分 $E_{X,0}^{(k)}$ を取り出して、$\mathcal{H}_k$ 内の単位ベクトル $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた向き付け可能な曲面の genus ≥2 の自己同型群はカジダンの性質 (T) を満たすか？
• RQ2 自己同型群のユニタリ表現を、ほとんど不変ベクトルは持つが非自明な不変ベクトルは持たない形で構成できるか？
• RQ3 リシェティヒン＝トゥレイヴの TQFT と幾何学的量子化から得られる表現は、性質 (T) を満たさないか？
• RQ4 ヴェルリンデバンドルによる自己同型群の表現の漸近的忠実性は、性質 (T) の失敗を検出するのに十分か？
• RQ5 有限部分群 $SU(2)$ の holonomy を用いて、モジュライ空間内に $\Gamma$-不変な集合を構成し、それがほとんど固定ベクトルを支えることができるか？

主な発見

• genus 2 以上の閉じた向き付け可能な曲面の自己同型群は、非自明な不変ベクトルを持たないがほとんど不変ベクトルを持つユニタリ表現を構成することにより、カジダンの性質 (T) を持たないことが示された。
• 空間 $\mathcal{H}_k$ 上の表現は、[A2] の漸近的忠実性結果により忠実であることが保証され、反例の非自明性が保証される。
• 十分大きな $k$ に対して、トレースがゼロの自己準同型 $E_{X,0}^{(k)}$ のノルムが 0 から離れているため、正規化されたベクトル $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ は適切に定義され、非ゼロである。
• 任意の $\phi \in \Gamma$ に対して、$\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ とその像 $\phi(\mathcal{E}_{X,0}^{(k)})$ の距離が $\tilde{C}/k$ で有界であるため、$k \to \infty$ のときベクトルはほとんど固定される。
• ほとんど固定ベクトル $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ は、$\Gamma$ の作用の下で非自明な固定ベクトルに収束しないため、性質 (T) の不在が確認された。
• この構成は、holonomy 伝送の $O(k^{-1})$ 収束性と接続 $\hat{\nabla}$ の平坦性に依存しており、テイヒミュラー空間全体にわたる表現の一貫性を保証する。